Un círculo tangente a una elipse

Question

Un amigo mío me mostró el siguiente problema:

Dejemos que $\cal E$ sea una elipse cuyo semieje mayor tiene una longitud $a$ y el semieje menor tiene una longitud $b$ . Dejemos que $\ell_1, \ell_2$ sean dos líneas paralelas tangentes a $\cal E$ . Dejemos que $\cal C$ sea el círculo tangente a $\ell_1$ , $\ell_2$ y $\cal E$ . Demostrar que la distancia entre los centros de $\cal C$ y $\cal E$ es igual a $a+b$ .

Hasta ahora he conseguido demostrar que si trazamos la recta tangente $k_1$ a través de $\cal E \cap \cal C$ y la tangente $k_2$ a $\cal E$ en paralelo a $k_1$ entonces el círculo tangente a $k_1, k_2, \ell_1$ es tangente a $\cal E$ también.

Estoy atascado. Me gustaría ver algunas pruebas, preferiblemente no analíticas.

Answer 1

Tengo una hoja de ruta para una solución simple a través de la geometría analítica / trigonometría:

1. Consideremos una elipse $\mathcal{E}$ con la ecuación $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ es decir $(x,y)=(a\cos\theta,b\sin\theta)$ ;
2. Consideremos un punto genérico $P\in\mathcal{E}$ es decir, algunos $\theta\in[0,2\pi)$ ;
3. Calculemos la pendiente de la tangente $\tau_{P}$ a través de $P$ y considerar que la tangente paralela es $\tau_{-P}$ ya que en una cónica los puntos medios de las cuerdas paralelas están alineados a lo largo de una línea que pasa por el centro de la cónica;
4. Dejemos que $R_\theta$ sea la mitad de la distancia entre $\tau_P$ y $\tau_{-P}$ y $\ell_\theta$ la línea que atraviesa el original paralela a $\tau_P$ . Dejemos que $C_\theta$ sea una intersección entre $\ell_\theta$ y el círculo $x^2+y^2=(a+b)^2$ ;
5. Para comprobar que $\mathcal{E}$ y el círculo de radio $R_\theta$ centrado en $C_\theta$ son tangentes basta con comprobar que un discriminante es igual a cero.

Aquí hay algunas ideas para una solución puramente euclidiana:

1. Dejemos que $Q=\mathcal{C}\cap\mathcal{E}$ . Primera reclamación el paralelogramo que tiene lados $\tau_P,\tau_{-P},\tau_Q,\tau_{-Q}$ tiene sus vértices en una elipse fija $\mathcal{E}'$ que tiene los mismos focos que $\mathcal{E}$ ;
2. Dejemos que $U,V$ los vértices del paralelogramo anterior en $\tau_Q$ . Segunda reclamación : $C_\theta U$ y $C_\theta V$ son tangentes ortogonales a $\mathcal{E}'$ Así que $C_\theta$ se encuentra en el ortóptico de $\mathcal{E}'$ y tiene una distancia constante de $O$ .

De hecho, la primera afirmación se desprende de El porismo de Poncelet y la segunda afirmación es sólo una cuestión de búsqueda de ángulos.

Aquí también viene una animación: