¿Por qué es "o" (en lógica) a veces equivalente a "y" (en lenguaje natural)?

Question

En la clásica lógica proposicional, o (aka. la disyunción) es una función Booleana $\vee:\{0,1\}^2\longrightarrow\{0,1\}$ define como $\vee:=\{ (00,0), (01,1), (10,1),(11,1) \}$, y y (aka. junto) es una función Booleana $\wedge: \{0,1\}^2\longrightarrow\{0,1\}$ define como $\{(00,0),(01,0),(10,0),(11,1)\}$.

También hay reglas de inferencia para estas funciones, tales como $\vee$-introducción, $\wedge$-introducción, $\vee$-eliminación, y $\wedge$-eliminación, así como la otra maquinaria de la lógica.

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Así que, o y y no son el mismo objeto. Pero cuando el uso de ellos en el razonamiento matemático, a veces, el 2 se pueden utilizar indistintamente.

Ejemplo. Deje $X$ ser un espacio topológico, vamos a $A\subseteq X$, vamos a $\text{Lim }A$ el conjunto de límite de puntos de $A$. El cierre de $A$ se define como $A\cup\text{Lim }A$. Pero el conjunto de $A\cup \text{Lim }A$ se define como el conjunto $\{x\in X\ |\ x\in A\ \vee\ x\in \text{Lim }A\}$, es decir, el conjunto de todos los $x\in X$ donde $x\in A$ o $x\in \text{Lim }A$. Equivalentemente, el cierre de $A$ es el conjunto $A$ y su límite de puntos.

(Este es el primer ejemplo que se me vino a la mente, pero espero que usted consigue la idea.)

Sé que estoy mezclando la lógica formal con natural (humano!) el lenguaje hasta el punto de frivolidad, pero me pregunto si hay un no-mundano razón de esta equivalencia. Tal vez o y y son "dual", en algún sentido? O tal vez la equivalencia surge sólo porque el lenguaje natural es muy raro?

(Uno podría hacer caso omiso a esta pregunta diciendo: "el significado de la o en la lógica no es la misma que en el lenguaje natural" (generalmente en lenguaje natural los usos exclusivo-o), como el sentido de si en la lógica no es la misma que en el lenguaje natural (generalmente en lenguaje natural utiliza si-y sólo si), pero me da la sensación de que algo más está pasando.)

Answer 1

Considere la posibilidad de: "Todas las frutas y verduras son nutritivos"

En lugar de:

$$\forall x ((F(x) \land V(x)) \rightarrow N(x)) \text{ Wrong!}$$

se traduce como:

$$\forall x ((F(x) \lor V(x)) \rightarrow N(x))$$

Pero también se traduce como (y es de hecho equivalente):

$$\forall x (F(x)\rightarrow N(x))\land \forall x (V(x) \rightarrow N(x))$$

Así que ahora vemos que "las Frutas y verduras son nutritivos" es en realidad la abreviatura de "las frutas son nutritivas y verduras son nutritivos"

Se aplica a su caso:

"el cierre de a es el conjunto a y su límite de puntos."

puede ser traducido como:

$$\forall x ((x \in A \lor x \in \text{Lim} A) \rightarrow x \in Closure(A))$$

o como:

$$\forall x (x \in A \rightarrow x \in Closure(A)) \land \forall x (x \in \text{Lim} A) \rightarrow x \in Closure(A))$$

En otras palabras, la confusión es debido a la diferencia entre la disyunción de las condiciones y de la conjunción de las oraciones condicionales.

Answer 2

Esta es una pregunta vaga, por supuesto, pero quiero tratar de dar algunos perspectiva se basa en algunas ideas que he hecho últimamente.

Creo que esta es una cuestión de forma implícita el uso de activo / pasivo, que se comportan doblemente en un poco de matemática precisa de la forma. En primer lugar, observar de cerca cómo utilizamos activa y pasiva en cuanto a la relación de contención:

Deje $X$ ser un conjunto dado, y vamos a $A$, $B$ y $T$ ser subconjuntos de a $X$. Entonces decimos

• $T$ contiene $A$ e $B$, cuando nos referimos a $T \supseteq A ∪ B$, y
• $T$ es contenido por $A$ e $B$, cuando nos referimos a $T ⊆ A ∩ B$.

Esto es porque en realidad significa para evitar la repetición de algunas cláusulas mediante el uso de la conjunción "y", con el fin de acortar las frases. Las declaraciones anteriores son (más a menudo) lingüísticamente percibido para ser equivalente a respectivamente

• $T$ contiene $A$ e $T$ contiene $B$.
• $A$ es contenido por $T$ e $B$ es contenido por $T$.

Así, la conjunción "y", implícitamente, sirve como un conjunto de oraciones o proposiciones.

Nota: no me refiero a definir matemática lenguaje aquí, trato de la observan.

Ahora, si decimos que "el cierre de $A$ $A$ y sus límites de puntos", Sospecho que de inmediato entender esto para decir que "el cierre de $A$ es el conjunto $T$ que contiene (exactamente) $A$ y todos los límites de los puntos de $A$". Por la observación anterior, que es el conjunto $T$ tal que $T \supseteq A ∪ B$ (al $B$ indica el límite de puntos de $A$) y $T$ contiene nada más (por lo $T = A ∪ B$).

Sin embargo, si hacemos uso de "y" en otros contextos como " $T$ $A$ $B$ ", nos referimos a "$T$ está contenido en $A$$B$", por lo $T ⊆ A ∩ B$.

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Matemáticamente, esto se puede interpretar por ejemplo, de celosía-teóricamente: Vamos a $L = (L, ≤, ∨, ∧)$ ser una celosía, $∨$ que denota la combinación (máximo) de dos elementos, $∧$ denota el encuentro (mínimo) de dos elementos. Entonces hay una doble celosía $L^{\mathrm{op}} = (L, ≥, ∧, ∨)$ $L$ $L^{\mathrm{op}}$ son antitonely isomorfo como celosías.

En el doble celosía $L^\mathrm{op}$, vamos a escribir para todos los $x, y ∈ L$

• "$y ≤'x$" si $y ≥ x$$L$,
• "$x ∨' y$ " $x ∧ y$ $L$,
• "$x ∧' y$ " $x ∨ y$ $L$.

Por lo $L^\mathrm{op}$ orden $≤'$, únete a $∨'$ y satisfacer $∧'$.

Si se introduce el lenguaje de la relación, la antitone isomorfismo se refleja en nuestro lenguaje. Para los elementos $x, y ∈ L$, vamos a decir $x$ mata a $y$ siempre $x ≤ y$$L$. (Me gusta matar aquí porque es tan violentamente vivos.) Como seres humanos, ahora también de forma automática decir $y$ es asesinado por $x$ $x ≤ y$ , que es para $y ≤' x$.

Siguiente, se observa que para $a, b, t ∈ L$ $$t ≤ a ∧ b \Longleftrightarrow t ≤ a~\text{and}~t ≤ b.$$ El uso de nuestro lenguaje: $$\text{$t$ kills $a ∧ b$} \Longleftrightarrow \text{$t$ kills $$ and $b$}$$ Esto justifica $a ∧ b$ a ser llamado " $a$ $b$".

Y el análoga es cierto para $L^{\mathrm{op}}$ (donde tenemos que agregar la de los números primos "$'$" a todos los símbolos y reemplazar "mata" por "es asesinado por"). Por lo tanto, para $a, b, t ∈ L$, tenemos \begin{align*} \text{%#%#% is killed by %#%#% and %#%#%} &⇔ t ≤' a ∧' b' \\ &⇔t ≥ a ∨ b \\ &⇔\text{%#%#% is killed by %#%#%}, \end{align*} también justiying $t$ a ser llamado " $a$ $b$".

La diferencia radica en que la perspectiva que tome en un implícita en la relación de arriba o de abajo. Y depende de si usamos (implícita) de los verbos que describen la relación de activo o pasivo.

En nuestro caso, $t$ es el powerset de espacio $a ∨ b$ $a ∨ b$ como el orden y la matanza se contiene.

Esto también explica por qué esta confusión no se produce cuando la lingüísticamente el uso de "o": nunca decimos "$a$ o $b$" como en "el cierre de $L$ $X$ o su límite de puntos". Esto es debido a que $\supseteq$t = $A$t ≤ b$B$ no se cumple para general celosías (piense distinto de la unión), así que no hay ninguna justificación para decir "$A$ o $A$" $t ≤ a ∨ b ⇔ \text{$ ; y no hay necesidad de ser cualquier otro elemento que cumpla esta característica universal: No es (en general) no establece "que contiene exactamente $ or $ o su límite de puntos".

(Y en un sentido, esto se generaliza a las categorías con límites y colimits.)

Answer 3

Depende de cómo de la palabra. ¿Corresponde a $A \cup B$ "o" (como la notación $\vee$ para "o" sugiere), o corresponde a lo "y"?

Argumentan que $A \cup B$ corresponde a "y" desde $$ A \cup B\quad\text {consiste en ambos} \quad A\quad\text {y} \quad B $$

El razonamiento supongo que utilizado por Boole y sus seguidores es: $A \cup B$ corresponde a "o" desde $$ A \cup B = \{x\;:\, x \in A \text {o} \in B\ x} $$

Answer 4

Lenguaje común "hacer A o B" se interpreta correspondientes a lenguaje formal "hacer A o B". Esto es sintomático cuando patrones científicos se aplican a los fenómenos de la vida real. Como usted escribió, la mezcla de lenguaje común y formal puede ser confuso.

Answer 5

Puede escribir $(x \in A) \lor (x \in B) \implies (x \in C)$ o equivalente puede escribir $(A \subseteq C) \land (B \subseteq C).$