Se supone que debo construir una función biyectiva para el intervalo: \begin{align} I_2=\left(-\frac{\pi}{2} ,\frac{\pi}{2} \right] \longrightarrow \mathbb{R} \tag{Problem} \end{align} Primero intenté el caso más fácil, es decir \begin{align}f_1:I_1=\left(-\frac{\pi}{2} ,\frac{\pi}{2} \right) &\longrightarrow \mathbb{R} \\ x& \longmapsto \tan(x) \end{align} que es una biyección. Ahora sé que la composición de funciones biyectivas sigue siendo una biyección. Lo que significa que debería ser posible "hacer sitio" al punto que falta $\pi/2$ . La siguiente función: \begin{align}\phi : \mathbb{R} &\longrightarrow \mathbb{R \setminus}\lbrace 0 \rbrace \\ x & \longmapsto \begin{cases}x+1 \ \text{if} \ x \in \mathbb{N}_0 \\x \ \text{otherwise} \end{cases}\end{align} sería biyectiva, de manera que la composición $\phi \circ f_1: I_1 \rightarrow \mathbb{R}\setminus \lbrace 0 \rbrace $ es biyectiva, y como se desea, ahora tiene espacio para un punto que puedo mapear.
En este momento no estoy seguro de que mi planteamiento sea correcto porque no encuentro una función que sirva para ello. ¿Tendría que idear otra composición o es suficiente con definir una función que mapee a las funciones introducidas anteriormente?
Actualización (teniendo en cuenta las respuestas dadas)
Si entiendo bien las cosas puedo definir: \begin{align}f_2: I_2 &\longrightarrow \mathbb{R} \\ x& \longmapsto \begin{cases}\phi(x) \ \text{for} \ x \in I_2 \\0 \ \text{for} \ x=\frac{\pi}{2} \end{cases} \end{align} Actualización 2 (Aclaración necesaria) .
Definir una nueva función que sea igual a $\phi f_1$ en $I_1$ y hacer que se mapee $/2$ a $0$ . Como sugirió (y votó) @TBrendle.
Si entiendo esto correctamente, entonces necesito mapear $x=\frac{\pi}{2}$ a $0$ . Sin embargo, en este caso no tendría sentido incluir $I_1$ en el dominio, porque $\pi/2$ no está en el dominio, por lo que no veo por qué debería incluirlo en el codominio, sin embargo si defino: \begin{align}w: I_2 &\longrightarrow \mathbb{R} \\ (\phi\circ f_1)(x) & \longmapsto \begin{cases} (\phi \circ f_1) \ \text{if} \ x \in I_2 \\ 0 \ \text{if} \ x= \frac{\pi}{2} \end{cases} \end{align} Esto ya ni siquiera me parece una función legítima, ya que en $x=0$ la función evalúa tanto $0$ y $1$ .
