Si $\pi\colon X\to Y$ es un mapa del cociente, y $f\colon Y\to Z$ es un mapa continuo entre espacios topológicos, entonces la propiedad característica del mapa del cociente dice $f$ es continuo iff $f\circ \pi$ es continua.
¿Esto también funciona para los mapas lisas si los espacios en cuestión son todos variedades lisas? ¿$f\circ \pi$ Lisa implica $f$ es demasiado liso? La propiedad característica para los mapas de continuo está bien documentada, pero no pude encontrar nada de mapas lisos.
El análogo de un mapa del cociente en la categoría de Lisa es una inmersión suave sobreyectiva. Satisface la siguiente propiedad característica:
Supongamos que $X$, $Y$ y $Z$ son colectores de lisas y $\pi\colon X\to Y$ es una inmersión suave sobreyectiva. Entonces un mapa $f\colon Y\to Z$ es liso si y sólo si $f\circ\pi$ es liso.
Éste es Teorema de 4.29 en mi Introducción a colectores de Lisa (2ª ed.).
Aquí es un contraejemplo de las clases. Tome el círculo e identificar la parte superior y la parte inferior del arco para obtener el $[-1,1]$. Cerca de $\pm 1$, el plegamiento de mapas localmente aspecto de la función de $x^2$. Ahora identificar los extremos de $\pm 1$ para obtener un topológico cociente mapa de $S^1 \rightarrow S^1$. Deje $P$ ser el punto resultante de los extremos están pegados. En convenientemente elegido coordenadas locales de todo el valor crítico $P$, el cociente mapa se parece a $-(x-2)^2, (x+2)^2$ proyectado en el $y$-eje. En este mismo gráfico, considerar el mapa de $|x|$ en el cociente círculo, debidamente extendida por lo que es suave todo el mundo, sino $P$. Este mapa no es suave en $P$, pero la composición de las funciones cuadráticas es suave.
Así vemos que una inmersión es esencial en la afirmación de que Jack Lee publicado.
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