Incluso asumiendo $R = k$ es un campo (que voy a hacer de todo), no es realmente satisfactorio condición simple, pero no es un nombre asociado a ese fenómeno: Tschirnhaus transformaciones. Y podemos decir un par de cosas acerca de ellos.
Específicamente, si $k$ es un campo y $f,g$ son dos monic polinomios del mismo grado en $k$, que por comodidad voy a escribir en diferentes variables $f \in k[X]$$g \in k[Y]$, una transformación de Tschirnhaus de $f$ a $g$ es un elemento $u$ del álgebra $k[X]/(f)$ cuyo polinomio mínimo es $g$ (y a veces un polinomio $U \in k[X]$ en representación $u$ es abusivamente llamada la transformación de Tschirnhaus). Tenga en cuenta que el polinomio mínimo de a $u$ puede ser a través de algoritmos calculan como la resultante en la variable $X$$f(X)$$Y - U(X)$. Una transformación de Tschirnhaus $f$ a $g$ es esencialmente la misma cosa como un isomorfismo entre el$k[Y]/(g)$$k[X]/(f)$, el isomorfismo de ser representado por $A \mapsto A\circ U$$A \in k[Y]$. Así también podemos dar el siguiente criterio: una transformación de Tschirnhaus $U$ $f$ es un polinomio $U \in k[X]$ (o más rigurosamente, su clase de mod $f$) de tal manera que no existe $V \in k[Y]$ que $V\circ U \equiv X \pmod{f}$ (la transformación está en el mínimo polinomio $g$$u$, calculada como se ha explicado). Esta $V$ es, obviamente, llamado el inverso (o "conversar") transformación de Tschirnhaus a $U$.
Ahora se puede reducir al caso en que $f$ $g$ son irreductibles, porque:
Si $f = f_1 f_2$ donde $f_1$ $f_2$ son monic y relativamente primos, entonces una transformación de Tschirnhaus $U$ $f$ es exactamente lo mismo como dos Tschirnhaus transformaciones $U_1, U_2$ $f_1,f_2$ de manera tal que los polinomios $g_1,g_2$ que se transforman en son relativamente primos ($U$ es congruente a $U_i$ mod $f_i$ y transforma $f$ a $g = g_1 g_2$). Esto se deduce fácilmente a partir del teorema del resto Chino.
Si $f,g$ son monic, entonces un polinomio $U \in k[X]$ define una transformación de Tschirnhaus $f^r$ a $g^r$ fib se define uno de $f$ a $g$.
Así que si nos factor de $f = \prod f_i^{v_i}$ $g = \prod g_j^{w_j}$ $f_i$ $g_j$ irreductibles, los polinomios $f$ $g$ son Tschirnhaus-equivalente iff hay un bijection $i \mapsto j=\sigma(i)$ tal que $f_i$ es Tschirnhaus-equivalente a $g_j$$w_j = v_i$.
También tenga en cuenta lo siguiente: si no hay una transformación de Tschirnhaus $U$ $f$ a $g$ (monic, de mismo título), y si $E$ es una división de campo de la $f$$k$, $E$ es también una división de campo de la $g$$k$. De hecho, $U$ es todavía una transformación de Tschirnhaus $f$ a $g$ al $f,g$ son vistos como los polinomios de más de $E$, pero desde $f$ se divide, $g$ también tiene que ser dividido.
Así que ahora podemos asumir $f$ $g$ irreductible (del mismo título), por lo que el $k(x) := k[X]/(f)$ $k(y) := k[Y]/(g)$ son campos (la ruptura de los campos de $f$$g$). El hecho de que $f$ $g$ son Tschirnhaus-equivalente puede ser expresada en un poco más simple forma equivalente: $g$ tiene una raíz en $k(x)$ (es decir, no es $U$ tal que $g \circ U \equiv 0 \pmod{f}$; a continuación, $g$ es necesariamente el polinomio mínimo de la clase$u$$U$).
Supongamos, además, $f$ $g$ son separables y $k$ tiene un algoritmo de la división (es decir, podemos algorítmicamente calcular la factorización de un polinomio $h \in k[T]$ en factores irreducibles). Entonces existe un algoritmo para decidir si $f$ $g$ son Tschirnhaus-equivalente: de hecho, hemos visto que podemos suponer $f$ $g$ irreductible, y que es entonces la cuestión de decidir si $g$ tiene una raíz en $k(x) := k[X]/(f)$; pero en el último caso se resuelve por factorización $g$$k(x)$, y desde $f$ es separable, $k(x)$ tiene un algoritmo de la división (véase Frito Y Jarden, Campo de la Aritmética, lema 19.2.2, o Stoltenberg-Hansen & Tucker, "Computable de los anillos y campos" en el Manual de la Teoría de la Computabilidad, teorema 3.2.4).
[Edit: tal vez el siguiente criterio es más simple o más satisfactoria: si $f \in k[X]$ $g \in k[Y]$ son monic el mismo grado $d$, separables e irreductible, que son Tschirnhaus-equivalente si el cociente $k[X,Y]/(f,g) = k(x) \otimes_k k(y)$ por el ideal generan, y que es producto de los campos, tiene un factor de grado $d$$k$. De hecho, esta álgebra es $k(x)[Y]/(g)$, un producto de extensiones de $k(x)$ que tiene un factor de grado $1$ $k(x)$ - o, equivalentemente, de grado $d$ $k$ - iff $g$ tiene una raíz en $k(x)$. Ahora podemos aplicar algoritmos de (cero dimensiones primarias de la descomposición de a $(f,g)$ encontrar si es el caso.]
[Edit 2: Aquí está una descripción más detallada del algoritmo para probar si $f,g$ (monic separables irreducible de grado $d$) son Tschirnhaus equivalente, asumiendo por simplicidad que $k$ es infinito. En primer lugar, nos encontramos con $\lambda\in k$ tal que $x+\lambda y$ es primitivo en el sentido de que el monic generador de $h \in k[Z]$ de la ideal $(f,g,Z-X-\lambda Y) \cap k[Z]$ (calculada por algebraicas eliminación de $X$$Y$) es de grado $d^2$: dado que este es el caso para todos, pero un número finito de $\lambda$ $k$ es infinito, esto puede ser encontrado. Una vez que esto $h$ ha sido encontrado, el factor que más de $k$: no tiene (al menos uno) factor de grado $d$ fib $f,g$ son Tschirnhaus-equivalente. Si $h_0$ es un factor, calcular $(f,g,Z-X-\lambda Y, h_0) \cap k[X,Y]$, de nuevo por algebraicas eliminación, y más precisamente, calcular una base de Gröbner para el lexicográfica con el fin de $X<Y$: esta base será de la forma $f(X), Y-U(X)$ donde $U$ es la deseada transformación de Tschirnhaus.]
Como se ha visto anteriormente, si $f$ $g$ son separables, una condición necesaria para $f$ $g$ a Tschirnhaus-equivalente es que tienen la misma división de campo en algunos fijos algebraicas cierre de $k$. Esto no es suficiente (incluso si $f$ $g$ son irreducibles): $X^4 - 2$ $Y^4 + 2$ $\mathbb{Q}$ tienen la misma división de campo (es decir,$\mathbb{Q}(\sqrt{-1},\sqrt[4]{2})$), pero no son Tschirnhaus-equivalente desde $\mathbb{Q}[X]/(X^4-2)$ puede ser incrustado en $\mathbb{R}$, por lo que no contiene raíz de $Y^4 + 2$. Sin embargo, el criterio puede ser refinado como sigue: $f$ $g$ (monic separables e irreductible del mismo grado) son Tschirnhaus-equivalentes si tienen la misma división de campo de $E$ y por otra parte, si dejamos $P$ $Q$ ser los subgrupos de $G := \mathrm{Gal}(E/k)$, la fijación de una raíz de $f$$g$, respectivamente, a continuación, $P$ $Q$ son conjugado en $G$. (Esta es una sencilla consecuencia del hecho de que un isomorfismo de ruptura campos se extiende a un automorphism de la división de campo.)
Todo esto es bastante simple, y no estoy seguro de que cualquiera de lo que realmente puede decirse que responder a la pregunta, pero no creo que uno puede hacer nada mejor.
