Alternan la traducción de: "todo número real excepto cero tiene un inverso multiplicativo".

Question

Un texto dice, "Cada número real excepto el cero tiene un inverso multiplicativo" (donde mul- tiplicative inverso de un número real x es un número real y tal que xy = 1).

Se ofrece la siguiente traducción:

$$\forall x((x\neq 0) \rightarrow \exists y(xy = 1)).$$

He traducido personalmente la declaración como:

$$\forall x \exists y((x\neq 0)\rightarrow (xy = 1)).$$

Son estas dos afirmaciones lógicamente equivalente? Mi razonamiento es, para cada número real x, existe un número real y, tales que si x no es igual a cero, entonces el producto de x e y es igual a 1.

Answer 1

Sí, es un principio general que si no aparece $y$ $\varphi$, entonces los siguientes son equivalentes.

1. $\varphi \rightarrow \exists y(\psi)$
2. $\exists y(\varphi \rightarrow \psi)$

Answer 2

Sí:

$∀x((x \ne 0 ) → ∃y(xy = 1 ))$

y

$∀x∃y((x \ne 0) → (xy = 1))$

son lógicamente equivalentes, porque:

$\vdash \exists y (\alpha \rightarrow \beta) \leftrightarrow (\alpha \rightarrow \exists y \beta) \quad $Si no es libre en $y$ $\alpha$ %.

En tu caso, es de $\alpha$ $(x \ne 0 )$ y $y$ no es libre en él.