El método probabilístico, sección 2.5. Luces desequilibrantes

Question

Estoy trabajando a través de Alon y Spencer Método de probabilidades libro. En la Sección 2.5, Desequilibrando la luz, en la prueba del Teorema 2.5.1, se menciona que $R_i$$S_n$, la distribución de la suma de $n$ independiente uniformes $\{-1,1\}$ variables aleatorias, y así $$ E[|S_n|]=\left(\sqrt{\frac{2}{\pi}}+o(1)\right)\sqrt{n}, $$ con asymptotics encontrado por la estimación de $S_n$ $\sqrt{n}N$ donde $N$ es normal estándar.

Es fácil ver de la CT que si $S_n=\sum_{i=1}^n X_i$ $X_i$ todos los yo.yo.d., $\mathcal{U}(\{-1,+1\})$ , $S_n/\sqrt{n}\to G\sim \mathcal{N}(0,1)$ en distribución. Por la asignación continua teorema, $|S_n|/\sqrt{n}\to |G|$, que es donde el $\sqrt{2/\pi}$ proviene. Sin embargo, ¿cómo se $$ |S_n|/\sqrt{n}\a |G|~\text{en la distribución} \qquad\Longrightarrow\qquad E|S_n|/\sqrt{n}\a E|G| $$ justificado? A mí me parece que la prueba es incompleta, como la integración con el límite requeriría, por ejemplo integrabilidad uniforme, pero no he sido capaz de mostrar. Es que incluso en el caso? ¿Hay alguna otra manera de probar este rigurosamente?

Cualquier sugerencia o ayuda muy apreciada!

Answer 1

Integrabilidad uniforme hace el trabajo. Tenemos %#% $ de #% por lo tanto definir $$\mathbb E(S_n^2)=n\mathbb E[X_1^2],$, %#% $ #%

Para no negativo al azar variables $Y_n:=n^{-1/2}|S_n|$ tal que $$\mathbb E[Y_n; Y_n\geqslant R]\leqslant \sqrt{\mathbb E[Y_n^2]}\cdot \sqrt{\mathbb P\{Y_n\geqslant R\}}\leqslant \sqrt{R^{-2}\mathbb E[Y_n^2]}\leqslant \frac 1R.$ en distribución tenemos la equivalencia $Z_n,Z$ $ por lo tanto demostrando integrabilidad uniforme es una manera natural de tratar con un problema.

Answer 2

Utilizar la definición de convergencia débil que muestra el cdfs convergen pointwise y entonces usar la fórmula para la expectativa de que en términos de la cdf que funciona para variables aleatorias no negativos:

$\int_0^\infty P(X\geq t) dt = E[X]$

Si $X\geq 0$ (justificado por Fubini Tonelli)

Luego use convergencia dominada hasta el final.

Answer 3

Como alternativa, puede utilizar la fórmula exacta para $\mathbb{E}(|S_{2n}|)$ seguido de multicelular como de Mike Spivey respuesta:

$$\mathbb{E}(|S_{2n}|)=(2n) \binom{2n}{n}{1\over 4^n} = 2{\sqrt{n\over \pi}} \left(1 - \frac{1}{8n} + \frac{1}{128n^2} + \frac{5}{1024n^3} - \frac{21}{32768 n^4} + O(n^{-5})\right).$$