expectativa de la función de exponencial

Question

Es necesario calcular la siguiente integral

$$ \int_{0}^{\infty}x\,\left\{\vphantom{\LARGE A} % 1 \left[\vphantom{\Large A} 1 - \exp(-a\,x^{\alpha}) \right]^M \right\}\,{\rm d} x \qquad \mbox{with}\quad \alpha > 0\quad\mbox {y} \quad a, M > 0. $$

Esto es un integral conocido (si es posible, sin la aproximación de la función exponencial)?.

Answer 1

Supongo que el $M$ es un entero. Que $\beta=1/\alpha$. Entonces sustituyendo $x\to x^\beta$ $$ \begin{align} \int_0^\infty x\left[1-(1-\exp(-ax^\alpha))^M\right]\mathrm{d}x &=\int_0^\infty \beta x^{2\beta-1}\left[1-(1-\exp(-ax))^M\right]\mathrm{d}x\\ &=\int_0^\infty \beta x^{2\beta-1}\left[\sum_{k=1}^M(-1)^{k-1}\binom{M}{k}\exp(-akx)\right]\mathrm{d}x\\ &=\beta\;a^{-2\beta}\;\Gamma(2\beta)\;\sum_{k=1}^M(-1)^{k-1}k^{-2\beta}\binom{M}{k} \end {Alinee el} $$ Puede evaluarse como puede evaluar $\Gamma(2/\alpha)$.