Comparación entre media de Rademacher y media al azar

Question

Deje $X$ ser un espacio de Banach. Dejamos $j=e^{2i\pi/3}$. Deje $(\epsilon_i)$ ser una secuencia de independiente Rademacher variables fijos en un espacio de probabilidad $\Omega$. Deje $(\varphi_i)$ ser una secuencia de independiente complejo de variables aleatorias tales que $P(\varphi_i=1)=\frac{1}{3}$, $P(\varphi_i=j)=\frac{1}{3}$ y $P(\varphi_i=j^2)=\frac{1}{3}$ cualquier $i$.

¿Existen condiciones suficientes en $X$ tal que existen constantes $m,M>0$ tal que $$ m\Big\vert\Big\vert\sum_i \epsilon_i\otimes x_i \Big\vert\Big\vert_{L^p(\Omega,X)}\leq \Big\vert\Big\vert\sum_i \varphi_i \otimes x_i \Big\vert\Big\vert_{L^p(\Omega,X)}\leq M\Big\vert\Big\vert\sum_i \epsilon_i\otimes x_i \Big\vert\Big\vert_{L^p(\Omega,X)} $$ para cualquier $x_1,\ldots,x_n\in X$?

Nota: sé que si $X$ ha finito cotype, el Rademacher promedios y el gaussiano promedios son equivalentes.

Answer 1

Creo que esto es cierto para todos los espacios de Banach.

En primer lugar, vamos a $\psi_k = \varphi_k - \varphi'_k$ donde $\varphi' = (\varphi'_k)$ es una copia independiente de $\varphi = (\varphi_k)$. Entonces $$ \frac12 \|\sum \psi_k x_k\|_{L^p(X)} \le \|\sum \varphi_k x_k\|_{L^p(X)} \le \|\sum \psi_k x_k\|_{L^p(X)} $$ La primera desigualdad sigue por la desigualdad de triángulo, y la segunda desigualdad mediante el cálculo de la esperanza condicional con respecto a $\sigma(\varphi')$.

Ahora usted necesita saber la comparación principio - mira el Capítulo 3 y el Teorema 3.1 de http://ocw.tudelft.nl/courses/mathematics/stochastic-evolution-equations/lectures/ - tenga en cuenta que el $\psi_k$ ahora son simétricas variables aleatorias.

Necesitamos Teorema 3.1 cuando el $a_i$ son números complejos. Pero esto se logra fácilmente mediante la separación de $a_i$ en sus partes real e imaginaria, siempre y cuando no te importa sacrificar un factor adicional $2^p$ en el lado derecho.

Ahora, a mí me parece que usted está listo para imitar el tipo de argumento dado por el Teorema 3.2. Y creo que este debería establecer lo que usted desea.