Discriminante de $x^3+px+q$.

Question

Me da que $x^3+px+q\in\mathbb Z[x]$ es irreductible, y necesito mostrar que el discriminante, que me ha dado es igual a $-4p^3-27q^2$, no puede ser $0$ o $\pm 1$.

Ahora, ya que es irreductible, el discriminante puede no ser $0$ desde polinomios irreducibles sobre $\mathbb Z$ tienen distintas raíces complejas. Puedo descartar $D=-1$ buscando mod $4$, ya que se reduce a $q^2$. Del mismo modo, puedo descartar $D=1$ buscando mod $9$, ya que esto obliga a $p^3\equiv 2$ mod $9$, en tanto que es imposible. Sin embargo, ya que este problema era de la sección de hablando de los Grupos de Galois de la cúbica y cuártica, yo estaba esperando el hecho de que $D$ fue una plaza para ser involucrados. Hay otra manera para descartar cualquiera de los cero casos?

Answer 1

Si $|D| = 1$ entonces la extensión obtenida agregando las raíces de $P$ es unramified excepto posiblemente en el infinito. Pero cada extensión de $\Bbb Q$ se ramifican en unos prime finito, así $P$ tiene que dividir en $\Bbb Z$.
Por otra parte, usted no puede encontrar tres números enteros que son distancia $1$ separados entre sí, por lo que es imposible tener $|-4p^3-27q^2| = 1$ $p,q \in \Bbb Z$