Estoy tratando de idear un recursiva primer generación de la función después de una intuición de una posible analogía a los Molinos y Wright prime-representación de funciones, en el presente caso sobre la base de los logaritmos. La propuesta de la primer generación de la función $f(n)$ proporcionará no un subconjunto pero el conjunto completo de números primos ser $f(1)=2$, $f(2)=3$, $f(3)=5$... y la primer generación constante se llama $L$. Como en el estándar de los resultados de los Molinos y Wright la precisión decimal de la constante es importante con el fin de recuperar el embebido de los números primos y no se sabe si $\lim_{n \to \infty} L_n$ es racional o no.
Esto es, cómo funciona y las preguntas que están al final:
- Empezar con $n=1$, el actual primer $p_1=2$, anterior acumulado valor de la constante se define como $L_0=0$ (valor inicial). Calcule el valor de la constante de $n=1$. Va a ser $$L_1=\frac{Ln(2+L_0)}{Ln(1+1)}$$
(Donde $Ln$ es el logaritmo natural).
- Calcule el valor de la constante de $n=2$, $p_2=3$, $$L_2=\frac{Ln(3+L_1)}{Ln(2+1)}$$
Así que si se aplica de forma recursiva la fórmula, por $n$:
$$L_n=\frac{Ln(p_n+L_{n-1})}{Ln(n+1)}$$
Por ejemplo, el siguiente PARI_GP código calcula el $L_{500}$
\p2000; testlimit=500;current_pr=2;L=0;for(n=1,testlimit,L=log(current_pr+L)/log(n+1);current_pr=nextprime(current_pr+1););print("n is ",testlimit," and L is ",L);$$L_{500} = 1.3159864456...$$
La revisión de los resultados de las pruebas, parece que $\lim_{n \to \infty} L_n$ oscila (debido a las brechas entre los primos de aplicar en la fórmula), pero en el largo plazo es estable y tiende a disminuir y se reduce a un valor más cercano a $1$ e inferior al $2$.
Por ejemplo:
\p3; testlimit=500000;current_pr=2;L=0;for(n=2,testlimit,L=log(current_pr+L)/log(n);current_pr=nextprime(current_pr+1););print("n is ",testlimit," and L is ",L);$L_{5000}$ es de alrededor de $1.23...$ y en el código anterior muestra que el $L_{500000}$ es de alrededor de $1.21$. Otras pruebas similares muestran que tiende a ir hacia abajo hasta cierto límite específico cerca del límite inferior de $[1,2]$.
Como el proceso de recuperación de los números primos es recursivo, la forma de utilización de la constante es la siguiente:
Por ejemplo, suponiendo que tenemos $L_{500}$, tenemos que empezar a obtener el último prime de la espalda:
$$f(500)=p_{500}=\lfloor (500+1)^{L_{500}} \rfloor - 1 = 3571$$
Then recover $L_{499}$ and recover $f(499)=p_{499}$
$$L_{499}=((500+1)^{L_{500}})-p_{500}=1.31586811...$$
$$f(499)=p_{499}=\lfloor (499+1)^{L_{499}} \rfloor - 1 = 3559$$
$$...$$
Así que en general el proceso recursivo para recuperarse $L_{n}$ $f(n)=p_n$ $L_{n+1}$ $f(n+1)=p_{n+1}$ es:
$$L_{n}=((n+2)^{L_{n+1}})-p_{n+1}$$
$$f(n)=p_{n}=\lfloor (n+1)^{L_{n}} \rfloor - 1$$
El código siguiente, habiendo $L_{500}$ calcula hacia atrás el conjunto completo de números primos $\{p_{500}..p_{1}\}$
curr_L=L;for(n=1,testlimit,curr_n=testlimit-n+2;curr_p=(floor(curr_n^curr_L))-1;print("n is ",testlimit-n+1," ; Current prime is ",curr_p," and is_prime check = ",isprime(curr_p));curr_L=(curr_n^curr_L)-curr_p;);Hay un poco de corrección necesarios para el cálculo de $p_1$. Dependiendo de la $L_n$ calculado, a veces, recuperado el valor de $\lfloor (2)^{L_{1}} \rfloor = 2$ en lugar de $3$. Y por esa razón, cuando el valor es $2$, $f(1)=p_{1}=\lfloor (2)^{L_{1}} \rfloor - 1 = 2-1 = 1$ en lugar de la esperada $p_1=2$. Para manejar este caso especial, podemos expresar la primer generación de la función como:
$$f(n)=p_{n}=\lfloor (n+1)^{L_{n}} \rfloor - 1 + \delta_{f(n),2}$$
Donde $\delta_{f(n),2}$ es la función delta de Kronecker (proporcionado amablemente por @MitchellSpector en esta pregunta). Básicamente se trata de un pequeño truco que se va a asegurar que siempre se $f(1)=2$ independientemente del valor de $\lfloor (n+1)^{L_{n}} \rfloor$ ($2$ o $3$). Sería posible que una de las definiciones-por-caso de$f(n)$, así en vez de usar una sola expresión.
Este es un gráfico de la evolución de $L_n$ (sólo cuatro decimales de precisión):
Me gustaría hacer las siguientes preguntas:
Son los cálculos correctos o hay un error en los supuestos?
¿Cómo podría yo demostrar que $L_n$ es decreciente en el largo plazo y de hecho, hay un límite? Las pruebas muestran que, pero estoy un poco perdido sobre cómo demostrar que realmente está disminuyendo (debido a que cada paso depende en los espacios entre los números primos). Una pista sobre la partida paso sería genial!
Inicialmente pienso que este tipo de recursivas primer generación de la función es un poco diferente de la original de los resultados de los Molinos y torres de poderes de Wright, pero podría ser posible que una idea similar había sido explorado antes en la literatura reciente. Inicialmente yo no encontrar ese tipo de referencias. Existen soluciones similares como la que yo estoy inventando? Cualquier referencia a los papeles sería muy apreciada. Gracias!
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Así que decir que $C\in\Bbb{R}$, tenemos: $$p_n\sim C^{(\log2)(n+3)}$ $ ahora: $$L_n\sim\dfrac{\log(C^{(\log 2)(n+3)}+L_{n-1})}{\log 2^{n+3}}$ $ que ya sabemos que $L_{n-1} < 1$, mientras que $C^{(\log 2)(n+3)}$ tiende a infinito: $$L_n\sim \dfrac{\log(C^{(\log 2)(n+3)})}{\log 2^{n+3}} = \dfrac{1}{\log 2^{n+3}}\cdot \log(C^{(\log 2)(n+3)})=\\ \log(C^{\dfrac{(\log 2)(n+3)}{\log 2^{n+3}}})=\log(C^{\dfrac{(\log 2)(n+3)}{(\log 2)(n+3)}})= \log C$ $ ahora podemos decir: $$L_n \sim C \Longleftrightarrow p_n \sim e^{C^{(\log 2)(n+3)}}$ $ por lo que todavía tendrá algunas constante de Mills como involucrados.
Gracias a @barakmanos he sido capaz de entender que, debido a la oscilación espacios entre los números primos, la propuesta de constante $L_n$ no va a ser capaz de tener un límite adecuado. Para evitar ese problema, me han restringido las condiciones para forzar $L_n$ a ser estrictamente decreciente, por lo que un primer generación de la función de este tipo requiere algo más restricciones para tener una constante con un límite al $n \to \infty$. Con base en estos dos puntos:
La brecha entre el embebido de los números primos será estrictamente creciente. En el primer primer seleccionados se $11$ $19$ (brecha de 8), entonces de 29 gap (10), 41 (gap 12), etc.
La fórmula será modificado para cada una de las $n$ obliga a que el valor de $L$ a disminuir en cada iteración mediante el uso de poderes de $2$ asociado a cada una de las $n$.
$$L_n=\frac{Ln(p_n+L_{n-1})}{Ln(2^{n+3})}$$
El estado inicial es $n=1$, $p_1=11$, $L_0=0$
Así que esto se parece a esto ($16$ valores iniciales):
Ahora $L_n$ es estrictamente decreciente, y un límite (racionales o no) está asegurada.
El PARI/GP código para generar la constante:
\p20000;
testlimit=500;prev_gap=6;current_pr=11;L=0;for(n=1,testlimit,print("added prime p_",n,"=",current_pr,"; gap=",prev_gap);L=log(current_pr+L)/log(2^(n+3));prev_pr=current_pr;current_pr=nextprime(current_pr+prev_gap+1);prev_gap=current_pr-prev_pr;);print("n is ",testlimit," and L is ",L);
La constante ahora tiene este valor de $n=500$:
$$L_{500}=0.0396890...$$
Así que en general el proceso recursivo para recuperarse $L_{n}$ $f(n)=p_n$ $L_{n+1}$ $f(n+1)=p_{n+1}$ ahora se:
$$L_{n}=(2^{n+1})^{L_{n+1}}-p_{n+1}$$
$$f(n)=p_{n}=\lfloor (2^{n})^{L_{n}} \rfloor$$
El código siguiente, habiendo $L_{500}$ calcula hacia atrás el conjunto completo de números primos $\{p_{500}..p_{1}\}$
curr_L=L;for(n=1,testlimit,curr_n=testlimit-n+1;curr_p=floor((2^(curr_n+3))^curr_L);print("n = ",testlimit-n+1,"; current prime is ",curr_p," and is prime check = ",isprime(curr_p));curr_L=((2^(curr_n+3))^curr_L)-curr_p;);
Ahora se ve mucho más como un Molinos-como constante, pero recursiva!
