Un 3-4-5 triángulo derecho se encuentra dentro del círculo $2x^2+2y^2=25$. El triángulo se mueve dentro del círculo de tal manera que su hipotenusa siempre forma un acorde del círculo. Encontrar el lugar geométrico del vértice opuesto a la hipotenusa.
Bien estoy algo confundida sobre esta cuestión. He probado utilizando coordenadas polares y trig-ataques pero sus no da resultados adecuados. Intuitivamente supongo que es el lugar geométrico de un círculo pero no estoy seguro.
Sugerencia. Tenga en cuenta que la distancia de la cuerda desde el centro del círculo es $5/2$ y a la altura del triángulo con respecto al acorde es $12/5$. Por otra parte, esta altura divide la cuerda en dos segmentos de longitudes $9/5$ y $16/5$. Por lo tanto la distancia del vértice de ángulo recto desde el centro del círculo es la hipotenusa del triángulo rectángulo de lados $16/5-5/2=7/10$ y $5/2-12/5=1/10$, $\sqrt{7^2+1^2}/10=1/\sqrt{2}$. Por lo tanto, el locus deseado es un círculo concéntrico con el círculo original con radio $1/\sqrt{2}$.
El círculo tiene radio de $\frac5{\sqrt2}$. Supongamos que tenemos una posición en el triángulo y el círculo que
A continuación, el círculo de centro tiene coordenadas $\left(0,\sqrt{\left(\frac5{\sqrt2}\right)^2-\left(\frac52\right)^2}\right)=\left(0,\frac52\right)$, mientras que el ángulo de vértice coordenadas no son mucho más difícil:
En otras palabras, el derecho de ángulo de vértice coordenadas se $\left(\frac7{10},\frac{12}5\right)$. La distancia entre los dos vértices de interés, que sigue siendo el mismo, no importa cómo el triángulo que está colocado en el círculo, es así
$$\sqrt{\left(\frac7{10}-0\right)^2+\left(\frac{12}5-\frac52\right)^2}=\frac{\sqrt2}2$$
y el locus de la derecha en ángulo de vértice es lo $x^2+y^2=\frac12$.
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