¿Supongamos que $\mathbb{X}=\mathbb{X}_1\times \mathbb{X}_2$ y Supongamos que $ P$ es una medida de probabilidad en $\mathbb{X}$ con los marginales $ P_i$ $\mathbb{X}_i, i=1,2$, es decir, $$\int f_i(x_i)\, dP=\int f_i(x_i)\, dP_i \,\,\,\,\text{for }i=1,2,$$ for $ P_i $ intergrable functions $f_i (x_i) $, $i = 1, 2 $ (looking at them as functions of $(x_1,x_2) $). Is the linear space spanned by $L ^ 1 \cup (P_1) L^1(P_2)$ ($L^1(P_1) + L^1(P_2)$) closed in $L^1(P)$?
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No, no tiene que ser cerrado. Me voy a dar un ejemplo con $L^1(P_1)+L^1(P_2)$ denso en $L^1(P)$ pero no es igual a $L^1(P)$.
Tome $\mathbb{X}_1=\mathbb{X}_2=\mathbb{N}=\{0,1,2,\ldots\}$. A continuación, elija las secuencias de $\epsilon_n,q_n > 0$ con $\sum_{n=0}^\infty q_n=1$, $\epsilon_n < 1/2$ y $\epsilon_n\to0$$n\to\infty$.
Definir la medida $P$ $\mathbb{X}=\mathbb{N}^2$ $P(\{(i,j)\})=p_{i,j}$ donde \begin{align} &p_{2n,2n} = q_n\epsilon_n,\\ &p_{2n,2n+1}=q_n\left(\frac12-\epsilon_n\right),\\ &p_{2n+1,2n}=q_n\frac12, \end{align} y todos los demás $p_{m,n}$ son cero. Estos se suma a $1$. Si $f\colon\mathbb{N}^2\to\mathbb{R}$, entonces podemos escribir $f(m,n)=f_1(m)+f_2(n)$ sobre el apoyo de $P$ donde, \begin{align} &f_1(2n)=0,\\ &f_1(2n+1)=f(2n+1,2n)-f(2n,2n),\\ &f_2(2n)=f(2n,2n),\\ &f_2(2n+1)=f(2n,2n+1). \end{align} Si $f$ ha finito de apoyo, a continuación, de modo de do$f_1$$f_2$, por lo que están en $L^1(P_1)$ $L^1(P_2)$ respectivamente, y $f\in L^1(P_1)+L^1(P_2)$. De ello se desprende que para $f\in L(P)$ $g_N(m,n)=1_{\{m,n\le N\}}f(m,n)$ da $g_N\in L^1(P_1)+L^1(P_2)$$g_N\to f$$L^1(P)$. Por eso, $L^1(P_1)+L^1(P_2)$ es denso en $L^1(P)$.
A continuación, defina $f\in L^1(P)$ $f(2n,2n)=\epsilon_n^{-1}$ y todos los demás $f(m,n)$ igual a cero. A continuación, $\lVert f\rVert_1=\sum_n q_n=1$, lo $f\in L^1(P)$. Sin embargo, si $f(m,n)=f_1(m)+f_2(n)$ sobre el apoyo de $P$, luego $$ \epsilon_n^{-1}=f(2n,2n)-f(2n+1,2 n)=f_1(2n)-f_1(2n+1). $$ Por eso, $\lvert f_1(2n)\rvert+\lvert f_1(2n+1)\rvert\ge\epsilon_n^{-1}$. Así, \begin{align} \lVert f_1\rVert &= \sum_{n=0}^\infty\left(P_1(2n)\lvert f_1(2n)\rvert+P_1(2n+1)\lvert f_1(2n+1)\rvert\right)\\ &=\sum_{n=0}^\infty\frac{q_n}{2}\left(\lvert f_1(2n)\rvert+\lvert f_1(2n+1)\rvert\right)\\ &\ge\frac12\sum_{n=0}^\infty p_n\epsilon_n^{-1}. \end{align} Si $\sum_n p_n\epsilon_n^{-1}=\infty$$f_1\not\in L^1(P_1)$. En particular, podemos tomar $p_n=2^{-n}$$\epsilon_n=2^{-n-2}$, mostrando que el $L^1(P_1)+L^1(P_2)\not=L(P)$.
