La secuencia converge a cero a una velocidad que parece ser un poco más rápido que $1/n$. ¿Cuáles son los resultados más conocidos sobre la tasa de convergencia de esta secuencia?
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Kelenner
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Usted puede utilizar el teorema de Cesaro: poner $\displaystyle u_n=\frac{1}{a_{n+1}}-\frac{1}{a_n}$. Se calcula fácilmente que $\displaystyle u_n=\frac{1}{1-a_n}$, por lo tanto, $u_n\to 1$. Por Teorema de Cesaro, conseguimos que $\displaystyle \frac{u_1+\cdots+u_n}{n}\to 1$. Esto le da con el cómputo fácil que $n a_n\to 1$, por lo tanto $\displaystyle a_n\sim \frac{1}{n}$.
Nima Bavari
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La secuencia es monótona decreciente. También, es fácil ver que siempre es positivo. Por lo tanto, $\{a_n\}$ converge.
Deje $N$ ser lo suficientemente grande entero, de modo que $$ a_N - a_{N + 1} < \varepsilon_N, $$ donde $\varepsilon_n \to 0$. Pero tenemos $$ a_N - a_{N + 1} = a_N (1 - 1 + a_N) = a_N^2 < \varepsilon_N. $$ Por lo tanto, $a_N \to 0$ por el teorema del sándwich.
Ahora vamos a $r_n = 2^{2^n}$, $b_n = b_{n - 1} (r_{n - 1} - b_{n - 1})$ y $b_0 = 1$. A continuación, $$ a_n = \frac {b_n} {r_n}. $$ Desde $$ \left(\frac {r_{k - 1}} {2} - b_{k - 1}\right)^2 = \frac {r_k} {4} - b_k $$ para cada entero no negativo $k$, podemos deducir que $$ \sum_{k = 1}^{n} \left(\frac {r_{k - 1}} {2} - b_{k - 1}\right)^2 = \sum_{k = 1}^{n} \frac {r_k} {4} - \sum_{k = 1}^{n} b_k, $$ y, por Cauchy-Schwartz desigualdad, tenemos $$ \sum_{k = 1}^{n} \frac {r_k} {4} - \sum_{k = 1}^{n} b_k > \frac {1} {n} \left (\sum_{k = 1}^{n} \frac {r_{k - 1}} {2} - \sum_{k = 1}^{n} b_{k - 1}\right)^2. \qquad \qquad (1) $$ Denotar $$ R_n = r_1 + r_2 + \cdots + r_{n - 1}, \qquad B_n = b_1 + b_2 + \cdots + b_{n - 1}, \nonumber \\ \phi (n) = \sqrt {n \left (n + r_n - R_n + \frac {3} {2} - 4 b_n\right) - R_n}. $$ Después de la simplificación, $(1)$ se convierte en $$ \frac {2 R_n - 2n - 3} {4} - \frac {\phi (n)} {2} < B_n < \frac {2 R_n - 2n - 3} {4} + \frac {\phi (n)} {2}. $$ Teniendo en cuenta que el$R_n = o (r_n)$$b_n = B_{n + 1} - B_n$, tenemos $$ \frac {r_n} {n} < b_n < \frac {r_n} {n} (1 + o (1)). $$ Por lo tanto, $a_n = \frac {1} {n} + o \left(\frac {1} {n}\right)$.
Aquí es un poco mejor obligado: en primer lugar, es más conveniente buscar en $b_n = 1/a_n$. Tenemos $$\frac{1}{b_{n+1}}=\frac{1}{{b_n}}-\frac{1}{{b_n^2}}=\frac{b_n-1}{b_n^2}$$ or, $$b_{n+1}=\frac{b_n^2}{b_n-1}=\frac{(b_n+1)(b_n-1)+1}{b_n-1}=b_n+1+\frac{1}{b_n-1}.$$ Es fácil ver que $b_k\geq 2$ todos los $k$, lo que implica $$b_{n}\leq b_{n-1}+1+\frac{1}{2-1}\leq\dots\leq 2n+2.$$ Ahora, $$ b_{n+1}\geq b_n+1+\frac{1}{1+2n}\geq b_{n-1}+2+\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n-1}\geq \dots\geq b_0+n+1+\sum_{k=0}^n \frac{1}{2k+1}, $$ y ya $$ \sum_{k=0}^n \frac{1}{2k+1} > \frac{1}{2}\sum_{k=0}^n \frac{1}{k+1} \geq \frac{1}{2}\ln(n+2) $$ tenemos $$ b_{n+1}\geq n+\frac{1}{2}\ln(n+2)+3. $$ Utilizando el mismo razonamiento, de $b_n\geq n+2$ (y el uso de $\sum_{k=1}^n \frac{1}{k} \leq \ln n+1$), llegamos a la $$ b_{n+1}\leq n+\ln(n+1)+4, $$ por lo tanto $$ \frac{1}{n+\ln(n+1)+4}\leq a_{n+1} \leq \frac{1}{n+\frac{1}{2}\ln(n+2)+3}. $$
