¿Qué tipo de anillo es la integral de cierre de $\mathbb{Z}$$\overline{\mathbb{Q}}$?

Question

Me empieza a perder la intuición cuando empiezo a tratar con infinitamente genera campos de más de $\mathbb{Q}$...

La ingenua suposición es que es noetherian de krull de la dimensión 1. Es esto correcto?

Una pregunta relacionada es qué tipo de morfismos es $Spec($integral de cierre de $\mathbb{Z}$ $\overline{\mathbb{Q}}) \rightarrow Spec(O_K)$ para un campo de número de $K$? Por ejemplo, es un plano de morfismos?

Answer 1

Esto es sólo el anillo de enteros algebraicos, que es una de Bézout de dominio. Eso significa que cada finitely generado ideal es principal. Como existe no existe no finitely generado ideales que no son principales, no es una Noetherian de dominio.

Por ejemplo, considere el ideal generado por a $\{2^{1/n}\colon n\ge1\}$. Como no generar el sistema está contenida en ninguna extensión finita de $\mathbb{Q}$, no es finitely generado. Por otro lado, cualquier cociente por un valor distinto de cero el primer ideal $\mathfrak{p}$ da una extensión algebraica de $\mathbb{Z}/\mathfrak{p}\cap\mathbb{Z}$, por lo que es un campo, y $\mathfrak{p}$ es máxima. Por lo que se han Krull dimensión 1.

Otro ejemplo común de Bézout domian que no es Noetherian es el anillo de la totalidad de funciones en el plano complejo.

Answer 2

A su pregunta relacionada con ", Por ejemplo, es plana?", la respuesta es sí. El punto es que en un dominio de Dedekind, más generalmente a través de una Prüfer anillo, un módulo es plano si y sólo si es de torsión libre( ver aquí). Por otro lado, yo no estoy tan seguro de si me puede decir más acerca de la de morfismos. No va a ser localmente finito, localmente finito de tipo local, Noetherian etc...

Answer 3

No, no es noetherian. Los ideales generados por $2^{1/2^n}, n = 1, 2, \dots$ forma estrictamente ascendente de la cadena que no se estabiliza. Es de Krull de dimensión uno (cada valor distinto de cero el primer ideal es máxima) por mentir más y subiendo.