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Añadiendo una raíz de $z\bar z=-1$ a $\mathbb C$

Esta pregunta medio en serio está inspirada en la respuesta a mi pregunta anterior, Quiero algo como la fórmula de Cayley para matrices unitarias

La ecuación $z^2=-1$ no tiene soluciones en $\mathbb R$ añadir una solución produce $\mathbb C$ .

La ecuación $z\bar z=-1$ no tiene soluciones en $\mathbb C$ añadir una solución, ¿qué produce?

Actualización - Habiendo aprendido más gracias a los comentarios y a la respuesta, ahora he publicado una pregunta en MO con un contenido que espero sea más serio e interesante: https://mathoverflow.net/q/248241/41291

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¿Qué propiedades debe conservar la conjugación?

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¿Haría eso $\mathbb C[z]$ en un anillo?

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@quid @ Lehs Buenas preguntas, gracias. Digamos que extender la firma de anillos a anillos-con-antiinvolución. O alternativamente anillos-con-un-automorfismo (estos probablemente tendrán diferentes resultados; elige según tu propio gusto).

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Jherico Puntos 12554

Una forma de construir algo así es considerar el anillo de polinomios $\mathbb{C}[X]$ donde la conjugación se extiende imponiendo $\overline{X}=X$ .

Entonces considera el cociente $R = \mathbb{C}[X]/(X^2+ 1)$ . Se trata de un anillo con unidad, aunque no es un dominio por supuesto.

Dicho de otro modo, considere $\mathbb{C}^2$ con adición y conjugación por coordenadas, y multiplicación dada por $(a_1,b_1)(a_2,b_2) = (a_1a_2 - b_1b_2, a_1b_2 + a_2b_1)$ . Identificar los números complejos con los elementos $(c,0)$ .

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Por el teorema chino del resto su anillo $R$ es entonces isomorfo a una suma directa de dos copias de $\Bbb{C}$ . Como $X^2+1=(X+i)(X-i)$ y $X\pm i$ son coprimos, obtenemos $$R\simeq \Bbb{C}[X]/(X+i)\oplus\Bbb{C}[X]/(X-i).$$ Edit: Y a no ser que me haya equivocado tu extensión de la conjugación entonces intercambia los dos componentes.

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Sí, pero creo que esto es menos intuitivo que la descripción explícita de la estructura del anillo en $C^2$ que he dado en el último párrafo. // En la "edición" Esa es una buena propiedad sin embargo de que no pensé.

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El tuyo está en el espíritu de las construcciones Cayley, ¡seguro!

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WerkkreW Puntos 4212

Al parecer, la respuesta depende de la definición de conjugación. La respuesta de @quid parece ser isomorfa a los números bicomplejos o tesarinos, excepto por la diferente definición de conjugación.

Si consideramos el anillo de teselas, definiendo la conjugación como el cambio de signo de todas las apariciones de $i$ a $-i$ no hay solución. Esta definición de conjugación es equivalente como transposición de teselas representadas como $4\times4$ matrices reales o conjugado-transposición de teselas representadas como $2\times2$ matrices complejas.

En otras palabras, añadimos $j$ tal que $j^2=1$ , $\overline{j}=j$ , $(ij)^2=-1$ , $\overline{ij}=-ij$

Código en Mathematica, demostrando que no hay solución:

Solve[Dot[( {
     {w0, -w1, w2, -w3},
     {w1, w0, w3, w2},
     {w2, -w3, w0, -w1},
     {w3, w2, w1, w0}
    } ), Transpose[( {
      {w0, -w1, w2, -w3},
      {w1, w0, w3, w2},
      {w2, -w3, w0, -w1},
      {w3, w2, w1, w0}
     } )]] == ( {
    {-1, 0, 0, 0},
    {0, -1, 0, 0},
    {0, 0, -1, 0},
    {0, 0, 0, -1}
   } ), {w0, w1, w2, w3}, 
 Assumptions -> 
  w0 \[Element] Reals && w1 \[Element] Reals && w2 \[Element] Reals &&
    w3 \[Element] Reals]

Out={ }

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