Actualmente estoy aprendiendo álgebra lineal con mi amigo a través de un curso en línea, y tenemos un desacuerdo que nos gustaría que se establecieron.
Al enterarse de que los vectores pueden ser proyectados en las líneas por una simple función, y que esta función es una transformación lineal, que me recomendó que encontrar una manera de calcular la matriz de transformación para la función.
Esta función se caracteriza por un vector $\vec{v}$ señalando a lo largo de la línea que se proyecta en. La no-forma de la matriz de la función que nos dieron era este:
$$proj_{\vec{v}}(\vec{x}) = (\vec{x} \cdot \hat{u})\hat{u}$$
donde $\hat{u}$ es la forma normalizada de $\vec{v}$ calculado por ($\frac{1}{||\vec{v}||}\vec{v}$).
Cuando se trata de la construcción de este como una matriz, a mi amigo se le ocurrió esto (esto es sólo para $\mathbb{R}^{3}$, pero se entiende la idea):
$$proj_{\vec{v}}(\vec{x}) = \left[\begin{array}{ccc} \vec{x} \cdot \hat{u} & 0 & 0 \\ 0 & \vec{x} \cdot \hat{u} & 0 \\ 0 & 0 & \vec{x} \cdot \hat{u} \end{array}\right] \cdot \hat{u}$$
Veo varios problemas con esto. Primero de todo, las matrices de transformación no puede ser expresado en términos del vector a ser transformado, ¿no? A mi entender, que se supone que contienen valores constantes que son el mismo, no importa lo que el vector está siendo transformado. En segundo lugar, transformaciones lineales multiplicar $\vec{x}$ por la matriz de transformación, y no de cualquier otro vector, derecho?
No estoy particularmente interesado en la transformación de la matriz para este problema - I plan para practicar un poco con lo que he aprendido mediante el cálculo de que :) - me gustaría confirmación de la existencia o no de las cosas que mi amigo ha hecho son válidos. Gracias!
