En matemáticas, se define $dx^i$ como funcionales lineales, cuando se habla de integración. Sin embargo, en física, interpretamos $dx^i$ como cantidades muy pequeñas.
No hay nada inherentemente pequeño sobre un funcional (covector) base. Así que ¿por qué podemos les tratamos como tal? ¿Hay ningún puente entre las dos formas de la intuición?
Aquí es cómo lo pienso: $dx^i$ medidas de vectores, y los vectores tangentes va a ser de medición son la cosa que es muy pequeña. Más precisamente: es la integral de un formulario de una $\theta$ a lo largo de una curva $\gamma$
$$ \int_\gamma \theta = \int \theta ( \gamma'(t) ) dt. $$
En la aproximación de estilo integral de Riemann, la curva se convierte en una secuencia de pequeños desplazamientos, medir cada pequeño desplazamiento usando $\theta$ y luego añadirlos todos. En el límite conceptual los desplazamientos se convierten en el vector velocidad de la curva.
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