No es una prueba "diagramática", pero se puede ver que esto es, de hecho, la aproximación del "logaritmo principal" mirando lo que se obtiene cuando se resuelve el Callan-Symanzik con la primera función beta de bucle. Digamos que tengo una función de correlación G(λ,ℓ)G(λ,ℓ) que es una función de algún acoplamiento marginal λλ y ℓ≡logΛℓ≡logΛ el logaritmo de la escala de energía. Digamos que el primer bucle ββ función para λλ parece
β(λ)=bλ2+O(λ3)β(λ)=bλ2+O(λ3)
para alguna constante bb . Al igual que el escalar ϕ4ϕ4 en d=4d=4 .
La ecuación del CS es la siguiente
(∂∂ℓ−β(λ)∂∂λ)G(λ,ℓ)=0(∂∂ℓ−β(λ)∂∂λ)G(λ,ℓ)=0
Resolviendo esta ecuación con el orden más bajo ββ le ofrece la función GG en el límite λ→0λ→0 pero λℓλℓ fijo. Se trata, por tanto, de la suma de los términos que llevan en ℓℓ por cada pedido de λλ . Se puede ver esto reescribiendo GG de la siguiente manera:
G(λ,ℓ)=λG(1)(λℓ)+λ2G(2)(λℓ)+λ3G(3)(λℓ)+...G(λ,ℓ)=λG(1)(λℓ)+λ2G(2)(λℓ)+λ3G(3)(λℓ)+...
donde el G(i)G(i) son algunas funciones desconocidas de una sola variable. Puedes hacer esto ya que hay un nivel máximo de divergencia en cada orden de la teoría de la perturbación. Si introduces esto en la ecuación del CS y sigues el orden de los términos ves que obtienes una buena ecuación diferencial para G(1)G(1) pero no para ninguno de los términos de orden superior. Si se pasa al siguiente orden en λλ en el ββ que le daría una buena ecuación para G(2)G(2) que es el siguiente a los diagramas más divergentes de todos los órdenes de la teoría de perturbación. Así que el procedimiento RG convierte el límite λ→0λ→0 , ℓℓ que se obtiene de la teoría de perturbación estándar, en el límite λ→0λ→0 , λ⋅ℓλ⋅ℓ fijo, que suele ser más útil.