¿Por qué es tan baja la potencia para esta prueba?

Question

Lo que sigue es una potencia teórica de cálculo para un examen de práctica, pero esto parece muy bajo. Hice algo mal? El problema y la solución es la siguiente:

En una fábrica de bebidas de la media de llenado de las latas se establece en 300 ml, pero hay una preocupación de que la población de llenado de las latas de hecho no será de 300 ml. Suponga que la desviación estándar, $\sigma$, de la cantidad de líquido en un azar puede es de 1,2 ml. Una muestra aleatoria de 100 latas mostró una media de relleno de $\hat x = 299.64$

a). Hay evidencia en el 1% de nivel de significación de que la población se llene difiere de 300 ml? Llevar a cabo una prueba z para determinar esto.

b). Calcular la potencia de la prueba en una). al $u = 299.93$

La pregunta b) es la parte no estoy seguro acerca de. Tengo un valor de potencia de $0.0228$, lo que parece muy bajo para la potencia de una prueba. Aquí es lo que he hecho -

Potencia = P(Rechazar $H_0$ | $u = 299.93$)

Rechazamos $H_0$ al $Z_{obs} < -Z_\frac{\alpha}{2}$ o $Z_{obs} > Z_\frac{\alpha}{2}$

lo que equivale a un rechazo de $H_o$ cuando

$$\frac{\hat x - u}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}} < -2.576 \ \ \ \ \ \ {\rm or} \ \ \ \ \ \ \frac{\hat x - u}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}} > 2.576$$

$$\hat x < u-2.576\frac{\sigma}{\sqrt{n}} \ \ \ \ \ \ {\rm or} \ \ \ \ \ \ \hat x >u+2.576\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$

$$\hat x < 300-2.576\frac{1.2}{10} \ \ \ \ \ \ {\rm or} \ \ \ \ \ \ \hat x > 300+2.576\frac{1.2}{10}$$

$$\hat x < 300-0.30912 \ \ \ \ \ \ {\rm or} \ \ \ \ \ \ \hat x > 300+0.30912$$

Así que rechazamos $H_0$ cuando $$\hat x < 299.69 \ \ \ \ \ \ {\rm or} \ \ \ \ \ \ \hat x > 300.309$$

Ahora el uso de este para encontrar el poder que tenemos -

Potencia = $$P(\hat x < 299.69 | u = 299.93) + P(\hat x > 300.309 | u = 299.93)$$

$$= P(Z < \frac{299.69 - 299.93}{\frac{1.2}{10}}) + P(Z > \frac{300.309 - 299.93}{\frac{1.2}{10}})$$

$$= P(Z < -2) + P(Z > 3.158) \approx 0.0228 + 0$$

donde $Z$ es una variable aleatoria normal estándar. De modo que la potencia de la prueba es $0.0228$.

Answer 1

Su tamaño del efecto es muy pequeño: el verdadero valor sólo es $.07$ lejos de la hipótesis nula, mientras que la desviación estándar de población es $1.2$ y el tamaño de la muestra es $100$, haciendo que su error estándar $.12$, por lo que su error estándar es casi dos veces tan grande como la distancia a partir de la hipótesis nula, la combinación de un efecto muy pequeño tamaño. Intuitivamente, tiene sentido que usted tiene muy poco poder para detectar un efecto muy pequeño. Además, usted está utilizando un muy estricto criterio de significancia $(.01)$, por lo tanto es menos probable, en general, el rechazar la hipótesis nula.

Entre estas dos cosas, el resultado combinado de una muy poca potencia de la prueba no es particularmente sorprendente.