Lo que sigue es una potencia teórica de cálculo para un examen de práctica, pero esto parece muy bajo. Hice algo mal? El problema y la solución es la siguiente:
En una fábrica de bebidas de la media de llenado de las latas se establece en 300 ml, pero hay una preocupación de que la población de llenado de las latas de hecho no será de 300 ml. Suponga que la desviación estándar, $\sigma$, de la cantidad de líquido en un azar puede es de 1,2 ml. Una muestra aleatoria de 100 latas mostró una media de relleno de $\hat x = 299.64$
a). Hay evidencia en el 1% de nivel de significación de que la población se llene difiere de 300 ml? Llevar a cabo una prueba z para determinar esto.
b). Calcular la potencia de la prueba en una). al $u = 299.93$
La pregunta b) es la parte no estoy seguro acerca de. Tengo un valor de potencia de $0.0228$, lo que parece muy bajo para la potencia de una prueba. Aquí es lo que he hecho -
Potencia = P(Rechazar $H_0$ | $u = 299.93$)
Rechazamos $H_0$ al $Z_{obs} < -Z_\frac{\alpha}{2}$ o $Z_{obs} > Z_\frac{\alpha}{2}$
lo que equivale a un rechazo de $H_o$ cuando
$$\frac{\hat x - u}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}} < -2.576 \ \ \ \ \ \ {\rm or} \ \ \ \ \ \ \frac{\hat x - u}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}} > 2.576$$
$$\hat x < u-2.576\frac{\sigma}{\sqrt{n}} \ \ \ \ \ \ {\rm or} \ \ \ \ \ \ \hat x >u+2.576\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$
$$\hat x < 300-2.576\frac{1.2}{10} \ \ \ \ \ \ {\rm or} \ \ \ \ \ \ \hat x > 300+2.576\frac{1.2}{10}$$
$$\hat x < 300-0.30912 \ \ \ \ \ \ {\rm or} \ \ \ \ \ \ \hat x > 300+0.30912$$
Así que rechazamos $H_0$ cuando $$\hat x < 299.69 \ \ \ \ \ \ {\rm or} \ \ \ \ \ \ \hat x > 300.309$$
Ahora el uso de este para encontrar el poder que tenemos -
Potencia = $$P(\hat x < 299.69 | u = 299.93) + P(\hat x > 300.309 | u = 299.93)$$
$$= P(Z < \frac{299.69 - 299.93}{\frac{1.2}{10}}) + P(Z > \frac{300.309 - 299.93}{\frac{1.2}{10}})$$
$$= P(Z < -2) + P(Z > 3.158) \approx 0.0228 + 0 $$
donde $Z$ es una variable aleatoria normal estándar. De modo que la potencia de la prueba es $0.0228$.
