¿Por qué la no linealidad de la acción de la cuerda prohíbe el estiramiento debido a las excitaciones fuertes?

Question

Desde Notas de la conferencia de 't Hooft sobre la Teoría de Cuerdas en la página 8 (parafraseado):

Para entender las partículas hadrónicas como estados excitados de las cuerdas, tenemos que estudiar las propiedades dinámicas de estas cuerdas, y luego cuantificar la teoría. A primera vista, esto parece sencillo. Tenemos una cuerda con masa por unidad de longitud $T$ y una fuerza de tensión que también es $T$ . Piensa en una cuerda infinita que se estira en el $z$ -dirección. La excitación transversal se describe mediante un vector $x^{\text{tr}}(z,t)$ en el $x y$ -y las excitaciones se mueven con la velocidad del sonido, aquí igual a la velocidad de la luz, en la dirección positiva y negativa $z$ -dirección. Esto no es más que una teoría de campo sin masa de dos componentes en una dimensión espacial y otra temporal. Cuantificarla no debería ser un problema. Sin embargo, es una teoría de campo no lineal; si la cuerda está fuertemente excitada, ya no se estira en la dirección $z$ -dirección, y otras pequeñas excitaciones se mueven entonces en la $z$ -dirección más lenta. En efecto, las cadenas pueden reorientarse en cualquier dirección; para manejar ese caso, se necesita un esquema más potente.

Entiendo que la teoría de campo es no lineal, pero ¿qué tiene que ver eso con el estiramiento de la cuerda con excitaciones fuertes?

Además, ¿por qué menciona que la cuerda podría reorientarse? ¿Tiene esto que ver con la no linealidad o simplemente con que los puntos finales de la cuerda no son fijos en este modelo simplista?

Cualquier ayuda es muy apreciada.

Answer 1

Es probable que desde entonces hayas recibido más claridad sobre esta pregunta, pero fue planteada por el usuario de la comunidad y ninguna de las respuestas existentes es del todo correcta.

't Hooft no pretendía decir nada muy complicado con este comentario. Sólo decía que si tienes una cuerda en el $z$ dirección y considerar sólo las vibraciones transversales más pequeñas, se puede describir esta teoría de campo como los dos campos $x(z, t)$ y $y(z, t)$ bajo la suposición de que todo el "estiramiento" de la cuerda ocurre en el $z$ -dirección.

Sin embargo, si se excita fuertemente la cuerda, entonces la fuerza de la cuerda sigue siendo lineal en el estiramiento, pero al alejarse del $x=0, y=0$ ubicación, ese tramo ya no se dirige mayormente en el $z$ -lo que significa que el uso de $z$ como su parámetro de teoría de campo induce no linealidades en las ecuaciones de campo resultantes; no es sólo un $z^2$ término. Para decirlo de forma muy concreta, si la cuerda forma un ángulo $\theta$ con el eje z, entonces el estiramiento real de la cuerda es $d\ell = dz/\cos\theta,$ por lo que tenemos que considerar aproximaciones sucesivas $dz~\left(1 + \frac12 \theta^2 + \frac5{24} \theta^4 + \dots\right)$ con $\theta$ siendo una expresión complicada que depende de $x$ y $y$ un gran lío.

De hecho, la situación es aún peor, porque se pueden imaginar excitaciones que estiren tanto la cuerda que puedan retorcer un bucle en ella. Esto es lo que quiere decir al preocuparse por cómo puede reorientarse una cuerda: el $x(z, t)$ y $y(z, t)$ los campos podrían tener que convertirse en funciones multivaluadas de sus parámetros de entrada o algo peor.

Así que lo que estamos cuantificando (si intentamos llevar a cabo el procedimiento que él describe) va a ser sólo una aproximación de pequeña energía de una teoría no lineal que sabemos que sería "una tarea imposible" de resolver adecuadamente.

Answer 2

Se puede pensar en una solución que describa una cuerda giratoria de longitud finita, cuya existencia se basa en el aspecto no lineal de la EOM, a diferencia de otras ecuaciones lineales. En general, las cuerdas pueden moverse tan arbitrariamente como quieran, en relación con la variante de las condiciones iniciales y las condiciones de contorno. Lo mismo ocurre con la cuerda de longitud infinita de la que habla T'Hooft. Esto es acturalmente poco con cuantizaciones ya que se debe resolver este EOM en primer lugar. Entonces t'Hooft comenta que este es un modelo que se puede resolver para las enormes cantidades de transformaciones conformacionales, por ejemplo la cuerda que gira puede ser medida como una cuerda estacionaria.

Answer 3

Entiendo que la teoría de campo es no lineal, pero ¿qué tiene que ver eso con el estiramiento de la cuerda con excitaciones fuertes?

Tal vez estés pensando demasiado en esto. Busca un cordel de lavado o una cuerda de guitarra y hazla girar. Mientras lo haces, fíjate bien. La cuerda empezó recta, pero cuando ibas a soltarla, se estiró. La cuerda es elástica, como la modelo de bolsa y tiene un límite elástico. Si se retuerce demasiado, se rompe. Eso es no lineal. También hay que tener en cuenta que la velocidad de una onda de corte en una masa es v = (G/) donde G es el módulo de elasticidad de corte, y es la densidad. Cuando se estira y se comprime un material, éstos pueden cambiar.

Además, ¿por qué menciona que la cuerda podría reorientarse? ¿Tiene esto que ver con la no linealidad o simplemente con que los puntos extremos de la cuerda no están fijos en este modelo simplista?

¿Porque tenemos ondas en este modelo simplista? Mira la imagen de abajo. La cuerda empieza recta, se estira cuando la tuerces, y luego tienes una onda en ella. Como la onda está ahí, una sección de la cuerda se reorienta, y si envías otra pequeña onda a lo largo de ella de izquierda a derecha, se desplaza, toma un camino curvo.

Este camino puede ser tan curvo que la onda termina viajando a través de sí mismo de tal manera que desplaza su propia trayectoria a un cerrado camino. Sin embargo, la analogía de la línea de lavado de extremos fijos se rompe. No hay una línea de lavado real o una cuerda abierta o cerrada, lo que realmente estamos tratando son las ondas en el espacio. Por cierto, creo que la onda lineal se asemeja mejor al fotón E=hc/, y la onda en una cadena cerrada quiral El cinturón de Dirac "spinor" camino comparado con el del electrón. Podemos difractar los electrones. En orbitales atómicos los electrones "existen como ondas estacionarias". 't Hooft menciona el fotón en la página 25, pero no menciona los electrones ni los leptones. Sin embargo, menciona los neutrinos. Agarra tu tendedero con un alicate, gíralo en sentido contrario a las agujas del reloj y suéltalo: ¡antineutrino!