Derivación de la varianza de muestra

Question

Tengo una simple pregunta, pero no puedo por la vida de la figura.

Para un conjunto de iid muestras $\,\,X_1, X_2, \ldots, X_n\,\,$ de la distribución) con un promedio de $\,\mu$.

Si se le da la varianza de la muestra como

$$ S^2 = \frac{1}{n-1}\sum\limits_{i=1}^n \left(X_i - \bar{X}\right)^2 $$

Cómo se puede escribir la siguiente?

$$ S^2 = \frac{1}{n-1}\left[\sum\limits_{i=1}^n \left(X_i - \mu\right)^2 - n\left(\mu - \bar{X}\right)^2\right] $$

Todos los textos que cubren este omita los detalles, pero no puedo trabajar fuera de mí mismo. Me quedo atascado después de la expansión, como así

$$ S^2 = \frac{1}{n-1}\sum\limits_{i=1}^n \left(X_i^2 -2X_i\bar{X} + \bar{X}^2\right) $$

Lo que me estoy perdiendo?

Editar: Igualmente la expresión equivalente es a menudo dado que yo también no puede derivar sino que puede ser más obvio es

$$ S^2 = \frac{1}{n-1}\left[\sum\limits_{i=1}^n X_i^2 - n\bar{X}^2\right] $$

Answer 1

$$\begin{align*} \frac{1}{n-1}\left[\sum\limits_{i=1}^{n}\left(X_i - \mu\right)^2 - n\left(\mu - \bar{X}\right)^2\right] &= \frac{1}{n-1}\sum\limits_{i=1}^{n}\left[\left(X_i - \mu\right)^2 - \left(\mu - \bar{X}\right)^2\right]\\ &= \frac{1}{n-1}\sum\limits_{i=1}^{n}\left(X_i - \bar{X}\right) \left(X_i + \bar{X} - 2\mu\right).\end{align*} $$ ahora, $$ \sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X}) = \sum_{i=1}^n X_i - \sum_{i=1}^n \bar{X} = n\bar {X} - n\bar {X} = 0 $ y lo $$ \begin{align*} \frac{1}{n-1}\sum\limits_{i=1}^{n}\left(X_i - \bar{X}\right) \left(X_i + \bar{X} - 2\mu\right) &= \frac{1}{n-1}\left[\sum\limits_{i=1}^{n}\left(X_i - \bar{X}\right)X_i + \sum\limits_{i=1}^{n}\left(X_i - \bar{X}\right)\left(\bar{X} - 2\mu\right)\right]\\ &= \frac{1}{n-1}\left[\sum\limits_{i=1}^{n}\left(X_i - \bar{X}\right)X_i + \left(\bar{X} - 2\mu\right)\sum\limits_{i=1}^{n}\left(X_i - \bar{X}\right) \right]\\ &= \frac{1}{n-1}\left[\sum\limits_{i=1}^{n}\left(X_i - \bar{X}\right)X_i\right]\\ &= \frac{1}{n-1}\left[\sum\limits_{i=1}^{n}\left(X_i - \bar{X}\right)X_i - \bar{X}\sum\limits_{i=1}^{n}\left(X_i - \bar{X}\right)\right]\\ &= \frac{1}{n-1}\sum\limits_{i=1}^{n}\left(X_i - \bar{X}\right)^2\\ &= S^2 \end{align*} $$

Answer 2

$$S^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n(X_i-\bar X)^2$$ $$=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n(X_i-\mu +\mu-\bar X)^2$$

$$=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n[(X_i-\mu)^2 +2(X_i-\mu)(\mu-\bar X)+(\mu-\bar X)^2]$$ $$=\frac{1}{n-1}[\sum_{i=1}^n(X_i-\mu)^2 +2\sum_{i=1}^n(X_i-\mu)(\mu-\bar X)+\sum_{i=1}^n(\mu-\bar X)^2]$$ $$=\frac{1}{n-1}[\sum_{i=1}^n(X_i-\mu)^2 +2n\sum_{i=1}^n(\frac{X_i}{n}-\frac{\mu}{n})(\mu-\bar X)+\sum_{i=1}^n(\mu-\bar X)^2]$$ $$=\frac{1}{n-1}[\sum_{i=1}^n(X_i-\mu)^2 -2n(\mu-\bar X)(\mu-\bar X)+n(\mu-\bar X)^2]$$

Me permito añadir que reemplace el $\frac{\sum_{i=1}^n X_i}{n}$ $\bar X$ en la penúltima línea. y darle la vuelta para obtener el signo negativo.