El álgebra de grupo $KG$

Question

Si $G$ es un grupo cíclico de orden $m$ . Entonces $KG\cong K[t]/(t^m-1)$ . Donde $K$ es un campo.

Defino

$$\begin{align*} \varphi:K[t]&\longrightarrow KG\\ \sum_ia_it^i&\longmapsto\sum_ia_ig^i \end{align*}$$ donde $\left\langle g\right\rangle=G$ y $a_i\in K$ y $\varphi$ es suryente y homomorfo. Sea $I=\left\langle t^m-1\right\rangle$ . Así que quiero demostrar que $ker\varphi\subseteq I$ . Así,

Dejemos que $p(t)\in ker\varphi$ , donde $p(t)=\sum_ia_it^i$ y $e$ la identidad de $G$ . Entonces $$\begin{align*} \varphi(p(t))&=\varphi\left(\sum_ia_it^i\right)\\ &=0\\ &=\sum_ib_ig^i-\sum_ib_ig^i\\ &=\sum_ib_ieg^i-\sum_ib_ig^i\\ &=\sum_ib_ig^mg^i-\sum_ib_ig^i\\ &=\sum_ib_ig^{m+i}-\sum_ib_ig^i\\ &=\varphi\left(\sum_ib_it^{m+i}\right)-\varphi\left(\sum_ib_it^i\right)\\ &=\varphi\left(\sum_ib_it^{m+i}-\sum_ib_it^i\right)\\ &=\varphi\left(\sum_ib_it^{i}(t^m-1)\right)\\ &=\varphi\left(q(t)(t^m-1)\right) \end{align*}$$ Donde $q(t)=\sum_ib_it^i$ y $b_i\in K$ . Cómo puedo garantizar que $p(t)=q(t)(t^m-1)$ ?

Answer 1

Sugerencia: Utiliza el algoritmo de la división para escribir $p(t)=q(t)(t^m-1)+r(t)$ donde $\deg(r)<m$ .

Si $p(t)\in\ker\varphi$ entonces $\varphi(p)=r(g)=0$ . Pero como $\deg(r)<m$ necesariamente $r\equiv 0$ Así que $t^m-1\mid p(t)$ .

Answer 2

No responde a su pregunta, pero yo propondría una estrategia diferente para demostrar que $$K[\mathbf Z/n]\cong K[t]/(t^n-1).$$

De hecho, uno tiene $$K[\mathbf Z]\cong K[t,t^{-1}]$$ como $K$ -algebras, mapeo $1$ a $t$ . Además, si $H$ es un subgrupo normal de un grupo $G$ entonces el núcleo del morfismo natural $$K[G]\rightarrow K[G/H]$$ es el ideal de dos caras $I=(h-1|h\in H)$ de $K[G]$ . Esta última afirmación es clara ya que el cociente $K[G]/I$ satisface la propiedad universal del álgebra de grupo $K[G/H]$ . Recordemos que, para $G$ un grupo, $K[G]$ es el universal $K$ -espacio vectorial dotado de una $G$ -y con un elemento especificado $1$ . Universal significa aquí que para todos los $K$ -espacios vectoriales $V$ equipado con un sistema lineal $G$ -y con un elemento especificado $v$ hay uno y sólo uno $G$ -equivariante $K$ -mapa lineal $f\colon K[G]\rightarrow V$ con $f(1)=v$ .

De ello se desprende que $$K[\mathbf Z/n]\cong K[t,t^{-1}]/(t^n-1)\cong K[t]/(t^n-1).$$

Answer 3

Ya que claramente $I \subseteq \ker \phi$ tenemos un homomorfismo único $\overline{\phi} \colon K[t] / \langle t^m - 1 \rangle \to KG$ tal que $\overline{\phi} (p(t) + \langle t^m - 1 \rangle) = \phi(p(t))$ . Para ver que $\overline{\phi}$ es inyectiva, verifique que $\overline{\psi} \colon KG \to K[t] / \langle t^m -1 \rangle, \sum_{i = 0}^{m-1} a_i g^i \mapsto \sum_{i=0}^{m-1} a_i t^i + \langle t^m -1 \rangle$ es su inversa. (Siempre que se sepa que cada elemento de $KG$ puede representarse de la forma anterior, está claramente bien definida. Si no, habría que comprobarlo primero).