¿Por qué ¿residuos pseudo normal mide la desviación de la mediana?

Question

He leído esto y me he quedado en la página 4. Se dice que

Por definición [normal pseudo-residual] es, precisamente, $N(0,1)$ distribuido y su valor es cero si $Y$ es igual a la mediana de su distribución. Así, estos residuos medir las desviaciones de la media y no de la expectativa.

He logrado demostrar que sigue una $N(0,1)$ de la distribución, pero no puedo imaginar el resto.

Sé que esta es probablemente una pregunta tonta, pero agradecería cualquier ayuda que pueda ofrecer.

Answer 1

De fondo

En este papel, $Y$ es una variable aleatoria con función de distribución continua $F(y)=\Pr(Y \le y)$. Una manera de medir lo extremo de un pequeño valor de $Y$ puede ser es el informe de la "probabilidad de observar un número igual o mayor de muy pequeño valor en el modelo [$F$]": en otras palabras, cuando se $F(y)$ está cerca de $0$, $y$ es un valor muy bajo para $Y$.

Algunas personas, en el cual el razonamiento acerca de distribuciones Normales (determinado por la distribución Normal Estándar de la función de $\Phi$) está profundamente arraigado, prefieren volver a expresar $F(y)$ en términos del número de desviaciones estándar (de"Z score") $z$ que $\Phi(z) = F(y)$. Si asumimos que el $F$ estrictamente aumenta, esto puede ser solucionado a rendimiento

$$Z(y) = \Phi^{-1}(F(y)),$$

la producción de una nueva variable aleatoria $Z(Y)$ con una distribución Normal estándar.

Explicación

$Z(y)=0$ si y sólo si $$1/2 = \Phi(0) = \Phi(Z(y)) = F(y).$$

Esa es la definición de la mediana de la $F$: un valor de $y$ que $F(y)$$50\%$.

Si una distribución $F$ tiene una media de $\mu_F$, no es necesariamente igual a la mediana. Cuando, por ejemplo, la media de $F$ supera la mediana, a continuación, $Z(\mu_F)$ debe ser mayor que $0$. En consecuencia, $Z$ cuando el pensamiento de los relativos a $0$, que es el centro de una distribución Normal, según cualquier definición que sea, realmente refleja las desviaciones en relación a la mediana de $F$, no su media (y no cualquier otro particular ubicación central de $F$).

Una aplicación

En Estados unidos el caso de la ley sobre la discriminación, los tribunales han sido expuestos a una cantidad suficiente de expertos en estadísticas de haber oído hablar acerca de las desviaciones estándar y las puntuaciones z. Algunos jurisprudencia se ha traducido en las normas (para servir como evidencia de la discriminación), que se expresan en términos de "número de desviaciones estándar"; es decir, en términos de Z-scores. Cuando la estadística de interés (tales como una medida de impacto discriminatorio) no tiene una distribución normal, algunos expertos como para convertir los valores de p en "número de desviaciones estándar." (Esperan los tribunales de ese modo entender el valor de p, mejor). Estos podrían ser interpretados como el pseudo-residuos discutidos en este documento.