¿Hay una rama de las matemáticas que requiere la existencia de conjuntos que se contienen a sí mismos?

Question

Me doy cuenta de que Russell paradoja de Burali-Forti de la paradoja, e incluso de la paradoja de Cantor, todo dependerá de la tolerancia de los conjuntos que se contienen a sí mismos (en un nivel de profundidad o de la otra). Por lo tanto, yo estaba pensando si no sería una buena manera de dejar de las paradojas, que acaba de prohibir a los grupos que contienen a sí mismos, a través de una modificación en el axioma esquema de comprensión, probablemente.

Pero, ¿hay alguna rama de las matemáticas, tal vez algo parecido a la teoría de la recursividad, que depende de conjuntos que se contienen a sí mismos en algún nivel de profundidad?

También, hay otra paradoja de la teoría de conjuntos ingenua que no depende de conjuntos que se contienen a sí mismos?

Gracias de antemano.

Answer 1

Esta pregunta a partir de hoy analiza las paradojas de la teoría de conjuntos que no dependen de conjuntos que se contienen a sí mismos. Pero en teoría todo lo que tenemos es la de conjuntos y de contención, por lo que si la regla, los que están fuera, como una fuente de paradojas o cualquier otra cosa, no queda mucho para trabajar.

Peter Aczel la teoría de la no-bien fundado de conjuntos es una teoría matemática de todos acerca de los conjuntos que se contienen a sí mismos, o contienen establece que los contienen, y variaciones de los mismos.

En J. H. Conway teoría de la combinatoria de los juegos, algunos juegos están representados por las estructuras que contienen a sí mismos. Un juego se define como un par ordenado de conjuntos de juegos. El de la izquierda es el conjunto de posiciones de juego para que la Izquierda jugador puede mover, y el derecho a establecer de manera similar. Así, por ejemplo, $(\emptyset, \emptyset)$ es la trivial juego en el que ninguno de los dos jugadores tiene movimientos legales. Algunos en el mundo real juego de posiciones corresponden a ${\bf On} = (\{{\bf On}\}, \emptyset)$ donde la Izquierda jugador puede hacer tantos movimientos como sea necesario, o:

$$\begin{eqnarray} {\bf tis} & = & (\{{\bf tisn}\}, \emptyset) \\ {\bf tisn} & = & (\emptyset, \{{\bf tis}\}) \end{eqnarray}$$

donde los dos jugadores puede seguir moviéndose indefinidamente, pero ninguno de los jugadores puede mover dos veces en una fila. Estos "loopy juegos" podría ser representada por los no-bien-fundado conjuntos.

Answer 2

En los días previos a la formalización de ZF, cuando la teoría de conjuntos faltaba su F, la gente tenía la idea acerca de la teoría de conjuntos con elementos que no son conjuntos. Estos fueron llamados átomos o urelements. Este teorías fueron utilizadas para probar la independencia de los resultados, por ejemplo, se ha comprobado que si comenzamos con un modelo de ZF+Átomos+AC podemos crear un modelo en el que el axioma de elección no se sostiene.

Estos consistencia de los resultados fueron la unidad detrás de Cohen trabajo cuando desarrolló forzar y demostró que una buena parte de estos resultados son sin suponiendo que los átomos existen. Después de un corto período de tiempo los matemáticos las formas establecidas de la transferencia de la prueba a partir de un contexto de átomos en un contexto sin átomos, de modo que los viejos métodos siguen siendo válidos y útiles hoy en día.

Una de las personas que desarrollan y ayudó a finalizar este método fue Ernst Specker, que utiliza conjuntos de la forma $x=\{x\}$ mientras que los átomos. Es decir, tenemos una gran clase de $W$ en el que hay una colección de $V$ de fundada conjuntos que hacer un modelo de ZFC, y entre el $V$ $W$ hay una colección de conjuntos de la forma $x=\{x\}$.

Este es un uso muy importante de mal fundada conjuntos, y se utiliza para establecer algunos de los más importantes de la consistencia de los resultados (por ejemplo, la existencia de un espacio vectorial sin una base).

Answer 3

Estoy tomando una oportunidad aquí ^^, esta "respuesta" de ninguna manera es una respuesta a tu pregunta y aún no relacionado con pienso, incluso podría ser un error mío... de todos modos, a veces he llegado a través de la noción de la categoría de las categorías que en mi libro es una estructura que contiene en sí mismo, aunque no un conjunto.

Las correcciones son bienvenidas ^^