Encontrar el límite de esta secuencia decreciente

Question

$$a_n=\left(1-\frac{1}{2^2}\right)\left(1-\frac{1}{3^2}\right)\left(1-\frac{1}{4^2}\right) \cdots \left(1-\frac{1}{n^2}\right) $$

He probado que esta secuencia está disminuyendo. Sin embargo estoy tratando de averiguar cómo encontrar su límite.

Answer 1

Sugerencia: Reescribir cada $1-\frac{1}{k^2}$ $\frac{(k-1)(k+1)}{k^2}$ y observar las cancelaciones masivas. Será útil hacerlo explícitamente para decir el producto de los primeros términos de la $5$.

Answer 2

Respuesta:

$$\left(\frac{3}{2}\frac{4}{3}\frac{5}{4}\cdots\frac{n}{n-1}\frac{n+1}{n}\right)\cdot\left(\frac{1}{2}\frac{2}{3}\frac{3}{4}\cdots\frac{n-2}{n-1}\frac{n-1}{n}\right)$$

Después de las cancelaciones masivas, tire el $$\frac{n+1}{2}\text{ and }\frac{1}{n}$ $

$$\frac{n+1}{2}\cdot\frac{1}{n}$$

Límite de esta función tiende a infinito $= 1/2$.

Answer 3

Sugerencia: tratar de definir $b_n = \ln(a_n)$ (que es bien definido) y ver qué límite va a. Utilizar una cierta función exponencial para ver qué $\lim_n a_n$.