Laplace ' ecuación de s en un dominio cuadrado con una reserva de punto central

Question

Podría alguien decirme la solución a este problema. Tengo $$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=0$$ on the square domain $-L < x < L, -L < y < L$ with homogeneous Dirichlet boundary conditions: $$u(L,y)=u(-L,y)=u(x,L)=u(x,-L)=0$$ and further condition $u (0,0) = 1$.

Lo he intentado separación de variables pero se dieron cuenta rápidamente que sólo me daría el trivial $u=0$.

Esto no es algún tipo de tarea, estoy resolviendo numéricamente la ecuación de calor y sólo quiero saber cuál es la solución de análisis de estado estacionario por lo que puedo comparar. ¡Gracias de antemano!

Answer 1

Hay sólo una solución al problema $$\begin{cases} \Delta u =0 & \Omega, \\ u=0 & \partial \Omega \end{casos}$$ cuando $\Omega$ es un dominio con límite continuo de Lipschitz, como la Plaza. Esta solución es la desaparición idénticamente, como se puede ver de varias maneras; uno de ellos observando que debe desaparecer la energía integral $$\int_{\Omega} \lvert \nabla u\rvert^2\, dx.

Answer 2

Si $(0,0)$ se considera un límite de punto, con $u(0,0)=1$ como una condición de contorno, entonces no hay solución de este problema de valor de frontera entre las condiciones. De hecho, un poco generalizada máxima principio dice que si $u$ es un delimitada armónico de la función en un dominio acotado $\Omega$ $u\le 0$ mantiene en $\partial \Omega$, excepto para un número finito de puntos, a continuación,$u\le 0$$\Omega$.

Ver también esta pregunta donde simetría rotacional permite primaria, la prueba de que un aislado límite de punto no es un punto habitual para el problema de Dirichlet.

Answer 3

El mundo de funciones por trozos puede tener posibilidades innovadoras.

Usted puede introducir algunos puntos saltando en las normales funciones continuas para que los derivados de las funciones modificadas no cambian.

De hecho la solución de este PDE puede ser $u(x,y)=\begin{cases}1&\text{when}~x=y=0\\0&\text{otherwise}\end{cases}$.