¿Qué es 1 grupo de homología de $X = \text{plane} - \bigcup_{n}\{(1/n, 0)\}\cup\{(0,0)\}$?

Question

¿Qué es el 1 de homología grupo de $X = \text{plane} - \bigcup_{n}\{(1/n, 0)\}\cup\{(0,0)\}$?

Mi conjetura es que ya es $\operatorname{Ab}(\Pi_1(X))$.

Es un subgrupo de $\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}\dotsb$ countably muchas veces, generado por todos los vectores que se $0$, excepto en un número finito de términos y la diagonal grupo de ie. todos los vectores de la forma $[n , n , n , n ,\dotsc]$ donde $n$ es cualquier entero. Como cualquier bucle de cualquiera de los bucles sobre un número finito de pts $(1/n ,0 )$ o bucles de origen, en cuyo caso bucles alrededor, pero un número finito de ellos.

Estoy en lo cierto? Si sí lo es de una rigurosa prueba, lo que es una buena referencia?

Answer 1

Pensar en el plano como $\mathbb C$ y aplicar la homeomorphism $z\mapsto 1/z$. Luego de su espacio homeomórficos a $\mathbb C\setminus\mathbb N$. Ahora es muy fácil ver lo que está sucediendo ya que la acumulación punto ha sido empujados hasta el infinito. El resultado es entonces homotopy equivalente a una cuña de countably muchos círculos. (Countably muchos círculos identificado en un solo punto.) La primera de homología de un contable de cuña de los círculos es similar a lo que usted describe en su post. Es una suma directa de countably muchas copias de $\mathbb Z$: en la notación, $\bigoplus_{n=1}^\infty \mathbb Z$. Esto es diferente de el producto directo en el que todos, pero un número finito de coordenadas están obligados a ser $0$. Usted puede preguntar, ¿qué acerca de los elementos de la diagonal $(n,n,...)$ que le parecía estar viendo? La idea es que si un bucle pasa alrededor de $0$ en la imagen original, en lugar de pensar en él como pasa en torno a $\infty$, en cuyo caso sólo bucles alrededor de un número finito de puntos (incluyendo $\infty$), para no ver la diagonal términos que estaban hablando.