No está seguro de cómo calcular $\int_0^1 \frac 1 {1+y\cos(x)}dx$

Question

$$\int_0^1 \frac 1 {1+y\cos(x)}dx$$

Si no hubo $y$, quisiera multiplicar por $1-\cos(x)$ y terminar rápidamente. Pero el $y$ me impide hacerlo. He probado la sustitución trigonométrica pero falló. Supongo que hay una forma sencilla de solucionar esto. Le agradeceria si alguien me pudiera ayudar con esto. Gracias.

EDIT: Cuando se trata de la Weirstrass Sub. Tengo aquí y no era capaz de encontrar una manera de seguir adelante:

$$\int_0^{\pi/4}\frac {2dt}{1+y+t^2(1-y)}$$

Answer 1

Sugerencia:

1. Sustitución de $t = \tan \frac{x}{2}$ da %#% $ #%

2. Desde $$I(y):=\int \frac{2}{1+y\cos x} \; \mathrm d x= \int \frac{2}{1+y \frac{1-t^2}{1+t^2}} \cdot \frac{2 \; \mathrm d t}{1+t^2} = \int \frac{2}{1+y+t^2(1-y)} \; \mathrm d t .$ $ la sustitución final debería ser fácil.

3. La última integral es del tipo $$\int \frac{1}{1+t^2} \; \mathrm d t = \arctan t$ $ constantes $$ \int \frac{1}{a +bt^2} \; \mathrm d t $. Ahora sustituye $a,b \in \mathbf R$ y obtendrá $\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}}t= z$ $

Answer 2

Primero uno debe tener cuidado al considerar sólo a $y$ tal que $1+y\cos x\neq 0$.

Si ese es el caso, podemos notar que $$ \frac{1}{1+y\cos x}=\frac{1-y\cos x}{1-y^2\cos^2x}. $$ A continuación, vamos a dividir en las partes $$ \frac{1}{1-y^2\cos^2x}=\frac{1}{\sin^2 x+(1-y^2)\cos^2x}=\frac{1}{\cos^2x}\frac{1}{\bronceado^2x+1-y^2} $$ Para esta parte, vamos a $u=\tan x$. Para la segunda parte, $$ \frac{-i\cos x}{1-y^2\cos^2x}=-\frac{y \cos x}{1-y^2+y^2\sin^2x}. $$ Aquí, vamos a $u=\sin x$.

Creo que ahora están en terreno seguro. Pregunte si usted no puede tomar desde aquí.