Cómo calcular$(e^x -1)/x$ cuando$-10^{-8}<x<10^{-8}$

Question

Estoy tratando de graficar la función$y=(e^x -1)/x$ para valores de$x$ cerca de cero.

El resultado debe ser$y$ cerca de$1$. Sin embargo, tanto en Excel como en WolframAlpha los valores calculados se vuelven muy impredecibles para las magnitudes de$x$ de la orden$-10^{-8}<x<10^{-8}$.

(1) ¿Por qué es esto? (2) ¿Existe una forma más precisa de calcular esta función cuando$x$ está cerca de cero?

Answer 1

Cuando$|x| \ll 1, e^x \approx 1+x+x^2/2$ de la serie Taylor. Cuando se resta$e^x-1$ en un equipo, se pierde precisión. Digamos que su computadora almacena los números en decimal con$10$ lugares (funciona igual en binario, pero estamos acostumbrados a decimal). En el equipo,$e^{10^{-8}} = 1.000000010,$, así que$e^{10^{-8}}-1 = 0.000000010$ y sólo tiene dos lugares de precisión. Para$|x| \ll 1$, es mucho más exacto decir analíticamente$e^x-1 \approx x+x^2/2,$ so$(e^x-1)/x \approx 1+x/2$

Este tema se discute ampliamente en las clases de análisis numérico.

Answer 2

Por esa misma razón, muchas bibliotecas matemáticas (por ejemplo, la libc POSIX estándar) tienen una función expm1 que da un valor numéricamente preciso para$e^x - 1$ cuando$x$ es pequeño.

Véase por ejemplo esto .