¿Cómo encontrar la suma parcial de una serie dada?

Question

En mi último examen, fue la pregunta de si la serie $\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{(n-1)n(n+1)}$ converge y que el límite que tiene. Durante el examen, y hasta ahora, no soy capaz de resolverlo. He intentado parcial fracción de descomposición, telescópico suma, etc. Pero yo no soy capaz de encontrar la suma parcial de la fórmula (Wolfram|Alpha):

$$ \sum_{n=2}^{m}\frac{1}{(n-1)n(n+1)} = \frac{m^2+m-2}{4 m(m+1)}. $$

Podría alguien hacerme en la dirección correcta? ¿Hay algún truco o esquema de cómo encontrar la suma parcial de las fórmulas para el dado de la serie?

Answer 1

Así que probemos la descomposición parcial de la fracción. Escribiendo $$ \ frac 1 {(n-1) n (n 1)} = \ frac a {n-1} \ frac bn \ frac c {n 1} $$ obtenemos $$ 1 = a (N ^ 2 n) b (n ^ 2 - 1) c (n ^ 2 - n) $$ y por lo tanto \begin{align*} 1 &= -b\\ 0 &= a - c\\ 0 &= a + b + c. \end {align *} Esto da% %. Por lo tanto \begin{align*} \sum_{n=2}^m \frac 1{(n-1)n(n+1)} &= \sum_{n =2}^m \frac 1{2(n-1)} - \sum_{n=2}^m \frac 1n + \sum_{n=2}^m \frac 1{2(n+1)}\\ &= \frac 12 + \sum_{n=2}^{m-1} \frac 1{2n} - \sum_{n=2}^m \frac 1n + \sum_{n=3}^m \frac 1{2n} + \frac 1{2(m+1)}\\ &= \frac 12 + \frac 14 - \frac 12 - \frac 1m + \frac 1{2m} + \frac 1{2m+2}\\ &= \frac 14 + \frac{-2(m+1) + m+1 + m}{2m(m+1)}\\ &= \frac 14 + \frac{-1}{2m(m+1)}\\ &= \frac{m(m+1) - 2}{4m(m+1)}. \end {align *}

Answer 2

¿Qué intenta de una suma telescópica? Su denominador aquí es el producto de tres términos sucesivos (esto es a menudo llamado un aumento o caída de factorial, según el lado que se tome como referencia); esto apunta a una diferencia de términos que son de la misma forma, pero con denominadores un grado menos. En particular, mirando a $t_n=\dfrac{1}{n(n+1)}$ $t_n-t_{n-1}$ $=\dfrac{1}{n(n+1)}-\dfrac{1}{(n-1)n}$ $=\dfrac1n\left(\dfrac1{n+1}-\dfrac1{n-1}\right)$ $=\dfrac1n\left(\dfrac{(n-1)-(n+1)}{(n-1)(n+1)}\right)$ $=\dfrac{-2}{(n-1)n(n+1)}$; en otras palabras, $\dfrac{1}{(n-1)n(n+1)} = -\dfrac12(t_n-t_{n-1})$, y a partir de aquí el telescopy debe ser bastante claro.