Cryptomorphisms

Question

Tengo curiosidad a recoger ejemplos de equivalentes axiomatizations de estructuras matemáticas. Los dos ejemplos que tengo en mente son

1. Espacios Topológicos. Estos pueden ser definidos en términos de bloques abiertos, conjuntos cerrados, barrios, Kuratowski cierre de axiomas, etc.

2. Matroids. Estos pueden ser definidos a través de conjuntos independientes, las bases, los circuitos, las funciones de clasificación, etc.

Se que hay otros buenos ejemplos?

En segundo lugar, ¿cuáles son algunas de las ventajas de múltiples axiomatizations?

Obviamente, una ventaja es que se puede trabajar con los más convenientes definición en función de la tarea a la mano. Otra es que permiten diferentes generalizaciones del objeto en cuestión. Por ejemplo, infinito matroids puede ser axiomatized mediante la adaptación de los independientes conjunto de axiomas, pero se desconoce cómo axiomatize a ellas a través del circuito de axiomas. Una respuesta aceptable a la segunda pregunta sería un ejemplo de una prueba en un sistema de axiomas que no se traduce fácilmente (no está seguro de cómo hacer este preciso) en otro sistema axiomático.

Answer 1

Para una toma, ver Feynman de clases en Cornell. Entre otras cosas, nos habla de cómo hay muchas equivalente axiomatizations para la física. A pesar de las diferentes axiomatizations son matemáticamente equivalentes, que sugieren diferentes concepciones del mundo, y por lo tanto distintos experimentos, por un lado, y diferentes de la metafísica en el otro.

Answer 2

Hay buenos ejemplos en la geometría. Por ejemplo, el plano Euclidiano puede se caracteriza por un lado por los axiomas de Hilbert, en el otro lado, por axiomas para completar ordenó campo $+$ espacio vectorial $+$ producto interior.

Otro ejemplo es el de un Pappian avión, que se caracteriza por un lado por los tres proyectiva del plano de axiomas $+$ Vilano teorema, por otro lado, por la campo axiomas (a partir de la cual el avión puede ser construido a través de coordenadas homogéneas).

Answer 3

Si no te importa trabajar en la lógica ecuacional (sin relación símbolos además de la igualdad, y centrándose únicamente en los universalmente cuantificado ecuaciones), entonces hay muchos ejemplos en álgebra universal. Los grupos han axiomatizations con y sin un símbolo para la inversa, e incluso dentro de una misma lengua hay un interés en la alternativa axiomatizations para la misma teoría, por ejemplo, álgebras Booleanas, álgebras de Heyting, celosías.

Si desea lógicas con más fuerza expresiva, usted puede considerar la interpretación de los resultados, los cuales son formas de "codificación" de una teoría a otra. Sólo sé de las aplicaciones de este para mostrar undecidability de teorías, pero no es un estudio de otros objetos alrededor de la noción de interpretación que Ralph McKenzie y otros, han creado o descubierto.

Gerhard "Me Preguntan Sobre El Diseño Del Sistema" Paseman, 2010.02.18

Answer 4

Aquí hay un ejemplo que siempre me pareció fascinante.

• Marcos se completa celosías que satisfacer la infinita distributiva de la ley de $$U \wedge \bigvee_{i \in I} V_i = \bigvee_{i \in I} U \wedge V_i.$$ En pointfree topología, estos se utilizan para abstraer el entramado de bloques abiertos de un espacio topológico.

• Completa álgebras de Heyting se completa celosías que tienen una operación binaria ${\Rightarrow}$ que satisface $$U \wedge V \leq W \quad\mbox{iff}\quad U \leq V \Rightarrow W.$$ Estos son principalmente utilizados para interpretar intuitionistic lógica.

El hecho de que estos dos tipos de redes son cryptomorphic es esencialmente el Functor Adjunto Teorema (al ver el subyacente de orden parcial como una categoría).

Answer 5

El fenómeno que creo que tiene en mente tiene un nombre: cryptomorphism. He aprendido el nombre de los escritos de Gian-Carlo Rota; Rota ejemplo favorito fue, de hecho, matroids. Gerald Edgar me informa de que el nombre es debido a Garrett Birkhoff.

Creo que la matemática moderna está repleta de cryptomorphisms. En mi clase de hoy, me presentó el "Omnibus Hensel del Lexema". Parte a): las cinco condiciones siguientes en un valioso campo son todos equivalentes. Parte b): completa los campos de satisfacer estas propiedades equivalentes. Hay muchas más condiciones equivalentes a las de los cinco que he mencionado: ver

Un desconocido (para mí) forma de Hensel del Lema

y, especialmente, Franz Lemmermeyer la respuesta para más caracterizaciones.

Yo diría que la existencia de cryptomorphisms es un signo de la riqueza y de la connaturalidad de un concepto matemático -- significa que tiene una existencia que es independiente de cualquier manera particular de pensar sobre esto ... pero que por otro lado la existencia de, obviamente, no equivalente cryptomorphisms tiende a hacer las cosas más complicadas, no es más fácil: tienes que aprender varios idiomas a la vez. Por ejemplo, el origen de la pregunta que he citado anteriormente fue el hecho de que en el martes de la clase I st*p*dly eligió la forma incorrecta de Hensel del Lema a utilizar para tratar de deducir otra versión de Hensel del Lema: no trabajo! Desde que somos finitos, seres temporales, a menudo resolvemos para el aprendizaje sólo algunos de los idiomas, y esto puede hacer que sea más difícil para nosotros entender el uno al otro y también a evitar que nos aleja de los problemas que son de la forma más natural que sea su enunciado y atacó a través de los idiomas en los que no sabemos hablar. Algunos ejemplos:

Creo que la primera (es decir, la mayoría de los de primaria) seria instancia de cryptomorphism es el factor determinante. Incluso la expansión de Laplace definición del determinante da algo como $n$ doble factorial diferentes maneras de calcular; el hecho de que estos diferentes cálculos no son, evidentemente, equivalente es sin duda un motivo de preocupación para álgebra lineal estudiantes. Por no hablar de las diferentes maneras en que queremos que los estudiantes a pensar acerca de los determinantes. Es "sólo" de la firma del cambio de volumen de una transformación lineal en el espacio Euclidiano (y el determinante más general conmutativa anillo puede ser reducido a este caso). Y es que "sólo" la inducida por el factor de escala en la parte superior exterior de energía. Y es que "sólo" los únicos escalares $\alpha(A)$ lo que hace que la adjunta de la ecuación de $A*\operatorname{adj}(A) = \alpha(A) I_n$ mantener. Y así sucesivamente. Tienes que ser bastante matemáticamente sofisticado para entender todas estas cosas.

Otros ejemplos:

Las redes frente a los filtros de convergencia de los espacios topológicos. La mayoría de los textos estándar, elija uno y una breve referencia a los otros. Como G. Laison ha señalado, este es un flaco favor a los estudiantes: si usted desea hacer el análisis funcional (o leen las obras de American matemáticos), es mejor saber acerca de las redes. Si quieres hacer álgebra topológica y/o lógica (o leen las obras de los matemáticos Europeos), es mejor saber acerca de los filtros.

Hay (al menos) tres axiomatizations del concepto de espacio uniforme: (i) séquitos, (ii) uniforme cubre, (iii) las familias de pseudometrics. Uno podría desarrollar toda la teoría utilizando sólo uno, sino en varios puntos, los tres tienen sus ventajas. Hay alguien a quién no le gustaría que se diera una definición que podría funcionar igual de bien en todos los casos?