Autoconvolución infinita para una función

Question

Tengo un problema matemático que me lleva a una necesidad particular. Necesito calcular la convolución de una función consigo misma cierta cantidad de veces.

Así que considera una función genérica $f: \mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}$ y considera estas hipótesis:

• $f$ es continua en $\mathbb{R}$.
• $f$ está acotada, entonces: $\exists A \in \mathbb{R} : |f(x)| \leq A, \forall x \in \mathbb{R}$.
• $f$ está definida por integrales, entonces su área es un número real: $\exists \int_a^bf(x)\mathrm{d}x < \infty, \forall a, b \in \mathbb{R}$. Lo que implica que dicha función tiende a cero si es infinita.

Funciones de masa de probabilidad: Estas funciones cumplen con las restricciones mencionadas anteriormente. Por lo que podría resultarte más fácil considerar $f$ también como la fmp de alguna r.v. continua.

Considera la operación de convolución: $a(x) \ast b(x) = c(x)$. Siempre nombro a la variable $x.

Ahora considera la siguiente función:

$$ F^{(n)}(x) = f(x) \ast f(x) \ast \dots \ast f(x), \text{para n veces} $$

Quiero evaluar $F^{(\infty)}(x)$. Y me gustaría saber si hay un resultado final genérico dado una función como $f$.

Mis intentos

Intenté un poco en Mathematica usando la distribución gaussiana. Lo que sucede es que, a medida que $n$ aumenta, la campana se estira y su pico se vuelve cada vez más bajo hasta que la función casi se extiende por todo el eje x. Parece que $F^{(\infty)}(x)$ tiende a la función $y=0$...

A medida que $n$ aumenta, las curvas se vuelven cada vez más bajas.

Answer 1

Mientras no conozco el caso general de tu $F^{(\infty)}(x)$ para cualquier función genérica $f$, parece que en algunos casos puedes encontrar formas cerradas explícitas para convoluciones de $n$ veces para algunas funciones $f$. ¿Quizás entonces puedas estudiar el límite a medida que $n\rightarrow\infty$ para tus propósitos?

Por ejemplo, encontré información útil en Grindstead and Snell's Introduction to Probability, que tiene una página sobre esta pregunta para el caso de un número finito de convoluciones (capítulo 7, pg 300 en mi copia) y lista la ecuación

$$ f_{S_n}(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi n}}e^{-x^2/2n} $$

que representa $n$ convoluciones de una Gaussiana, con $S_n=X_1+X_2+\dots+X_n$ donde $X_1,X_2,\dots,X_n$ son variables aleatorias gaussianas independientes con media 0 y varianza 1. $S_n$ está definido por su convolución de $n$ veces como $f_{S_n}=(f_{X_1}*f_{X_2}*\dots*f_{X_n})(x)$. Así que para tu experimento gaussiano, quizás esto pueda proporcionar alguna idea sobre la convergencia a cero.

El libro muestra ejemplos similares para variables aleatorias uniformes y exponenciales. Ellos señalan que esto se puede hacer para ciertos casos, implicando que no es generalmente aplicable. También proporcionan la siguiente referencia para información adicional (que no he estudiado): J. B. Uspensky, Introduction to Mathematical Probability (New York: McGraw-Hill, 1937), p. 277.

Answer 2

Tuve una pregunta similar durante años. Solo recientemente pude resolverla. Así que aquí tienes.

Como has mencionado, puedes asumir que $f$ es una función de densidad de probabilidad de una variable aleatoria multiplicada por un factor de escala, ya que satisface todas las propiedades requeridas que has mencionado.

Entonces, siguiendo el enfoque, primero considere una función $f(x)$, que es una función de densidad de probabilidad de una variable aleatoria $X. También considere una secuencia de $n$ variables aleatorias, $X_1 , X_2 , X_3 , \dots , X_n $ que son iid (Variables Aleatorias Independientes e Idénticamente Distribuidas) con una función de densidad de probabilidad $f(x)$.

Ahora el Teorema del Límite Central dice que \begin{equation} Y = \frac{1}{\sqrt n} \sum\limits_{i=1}^{n} X_i \end{equation> converge en probabilidad a una distribución normal a medida que $n$ tiende a $\infty". Pero por la propiedad de suma de variables aleatorias, la función de densidad de probabilidad de la variable aleatoria $Y$ es simplemente $\frac{1}{\sqrt n} ( f(x)*f(x)*\dots f(x)) $.

Esto significa que en tu caso $F^{\infty}(x)$ converge a $\sqrt n a^n \mathcal{N} (\mu,\sigma)$, lo que tiende a $0$ a medida que $n$ tiende a $\infty$, si $|a| \leq 1$, donde $a$ es el factor de escala necesario para normalizar el área bajo la curva a $1$ para la función de densidad de probabilidad equivalente. Esta es la razón por la cual tu función se vuelve más plana a medida que aumenta $n$. Ahora intenta el mismo experimento después de normalizar la función con $\sqrt n a^n$, debes obtener una curva de campana suave. Espero que ayude.

Answer 3

Bueno, para tus pruebas con las gaussianas solo las estás reescalando. Mi conjetura sería que tenderá a una gaussiana infinitamente estirada independientemente de la función inicial. Al menos es equivalente a tener una suma de $n \to \infty$ variables aleatorias con la misma función de densidad de probabilidad $f$, que debería tender a una distribución normal estirada por el factor de $n.

Answer 4

Puedes usar los cumulantes de la distribución original y realizar la Transformada de Fourier inversa. Siendo m_1 la media y k_n los cumulantes de f, después de N autoconvoluciones, la media resultante es N_m_1 y los cumulantes N_k_n. Si f tiene todos los cumulantes bien definidos, el resultado tiende a una gaussiana con media N_m_1 y varianza N_k_2 (en realidad el teorema del límite central).

Nota: en tu experimento matemático, (que tiene media cero y varianza unitaria), el resultado es una gaussiana con varianza N: está más dispersa. Es la razón por la que parece que tiende a cero, el área, que se conserva, se expande sobre un intervalo grande, por lo que el máximo disminuye... Si expandes el eje x recuperarás una gaussiana...