Norma del producto de un operador autoadjunto y una de sus proyecciones espectrales

Question

Deje $A$ ser un almacén de auto-adjunto del operador en un espacio de Hilbert $H$ tal que $A$ tiene un vector cíclico. Es decir, no existe $x \in H$ de manera tal que el lineal subespacio generado por $\{ x, Ax, A^2x,...\}$ es denso en $H$.

También vamos a $E$ denotar la espectral de la medida correspondiente a la $A$, es decir, $E : \Sigma \rightarrow B(H)$ $E(\Omega)=E_{\Omega}=\chi_{\Omega \cap \sigma(A)} (A)$ dado por la función de cálculo de $A$. Aquí $\Sigma $ es el Borel-$\sigma$-Álgebra $\mathbb{R}$ $\chi_M$ denota la función característica de un conjunto $M$. $\sigma(A)$ es el espectro de $A$.

Pregunta: Supongamos que el intervalo de $[0,1]$ está contenida en el espectro de $\sigma(A)$ de A. ¿Qué podemos decir acerca de la norma $||E_\Omega A||$ si $\Omega$ es, por ejemplo, un subinterval de $[0,1]$, decir $\Omega=[\tfrac{1}{4}, \tfrac{1}{2})$? Lo que si $\Omega=[\tfrac{1}{4}, \tfrac{1}{3}) \cup ([\tfrac{1}{3}, \tfrac{1}{2}) \cap \mathbb{Q})$?

Una cosa que sabemos es que los $||E_\Omega A|| = ||A E_\Omega||$. Tan sólo tenemos que calcular la norma en el rango de $E_\Omega$. Pero yo no veo cómo el vector cíclico entra en juego. Se nos dice que $H$ es separable. No sé cómo puede ser útil.

Answer 1

Siempre que se aplica una proyección espectral $E(S)\ne I$$A$, $0$ en el punto en el espectro de $E(S)A=AE(S)$ porque $\{AE(S)\}E(\sigma\setminus S)=0$$E(\sigma\setminus S) \ne 0$. Así que caso especial que requiere siempre de una atención especial.

Si $(a,b)\subseteq\sigma(A)$,$E(a,b) \ne 0$; de lo contrario $\mu \in (a,b)$ daría lugar a un almacén de operador, $$ R(\mu)=\int_{\sigma}\frac{1}{\lambda\mu}dE(\mu), $$ lo que tendría que ser el resolvent $R(\mu)=(A-\mu I)^{-1}$. Y que obligaría a $(a,b)\in\rho(A)$, contrario a la hipótesis.

Supongamos $[0,1]\subseteq\sigma(A)$. A continuación,$E(a,b) \ne 0$$(a,b)\subseteq[0,1]$. Primera vez que voy a considerar tu primera pregunta donde se le pregunta sobre el espectro de $AE[1/4,1/2)$. Automáticamente $0\in\sigma(AE[1/4,1/2))$ porque $\{AE[1/4,1/2)\}E(1/2,1)=0$$E(1/2,1)\ne 0$. Para$\mu\ne 0$$\mu\notin [1/4,1/2]$, $$ AE[1/4,1/2)-\mu I=(A-\mu I)E[1/4,1/2)-\mu E(\sigma\setminus[1/4,1/2)) $$ tiene una limitada inversa dada por $$ (AE[1/4,1/2)-\mu I)^{-1}=\int_{[1/4,1/2)}\frac{1}{\lambda\mu}dE(\lambda)-\frac{1}{\mu}E(\sigma\setminus[1/4,1/2)). $$ Por lo tanto, $\sigma(AE[1/4,1/2))\subseteq [1/4,1/2]\cup\{0\}$. Por el contrario $0\in\sigma(AE[1/4,1/2))$ se señaló anteriormente, y, para cualquier $\mu\in(1/4,1/2)$, las proyecciones $E(\mu-\delta,\mu+\delta)\ne 0$ todos los $\delta > 0$, lo que le da la existencia de un no-vector cero $x_{\delta}$ tal que $E(\mu-\delta,\mu+\delta)x_{\delta}=x_{\delta}$ y, por lo tanto, \begin{align} \|AE[1/4,1/2)x_{\delta}-\mu x_{\delta}\| & = \|(A-\mu I)E(\mu-\delta,\mu+\delta)x_{\delta}\| \\ & \le \delta \|E(\mu-\delta,\mu+\delta)x_{\delta}\| \\ & = \delta\|x_{\delta}\|. \end{align} Por lo $AE[1/4,1/2)-\mu I$ no puede ser continuamente invertible, lo que demuestra $$ \{0\}\cup (1/4,1/2) \subseteq \sigma(AE[1/4,1/2)) $$ Debido a que el espectro es cerrado, $$ \{0\} \cup [1/4,1/2]\subseteq \sigma(AE[1/4,1/2)). $$ El opuesto de inclusión se ha mostrado anteriormente. Así $$ \sigma(AE[1/4,1/2))=\{0\}\copa[1/4,1/2]. $$ El operador $AE[1/4,1/2]$ es selfadjoint. Por lo que su norma es su espectral de la radio, que da $\|AE[1/4,1/2)\|=1/2$.

Voy a dejar de considerar el resto de los casos. Nota, por ejemplo, que el $S=[1/3,1/2]\cap\mathbb{Q}$ podría ser tal que $E(S)=0$, o podría dar $E(S)=E[1/3,1/2]$ o $E(S)=E(T)$ podría albergar a una gran cantidad de subconjuntos cerrados $T$ $[1/3,1/2]$ debido a que el espectro es cerrado, y cada subconjunto de $[1/3,1/2]\cap\mathbb{Q}$ podría consistir de autovalores.