La minimización de $\omega$ se relaciona con el hecho de que es un subconjunto de todo conjunto inductivo. Este respuesta de Magidin explica a fondo un montón de datos sobre $\omega$ . Pero, ¿cómo podemos estar seguros $\omega$ sólo contiene $\emptyset$ y el sucesor de cada uno de sus elementos? ¿Hay algún contraejemplo?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Buena pregunta.
Sorprendentemente, no podemos. En particular, la afirmación de que "los elementos de $\omega$ son precisamente: el conjunto vacío, y todos sus sucesores" no es definible de primer orden.
Dicho esto, medio de esta reclamación es definible en primer orden, siempre que permitamos una lista infinita de sentencias.
- $\emptyset \in \omega$ .
- $\emptyset^+ \in \omega$
- $\emptyset^{++} \in \omega$
- etc.
Además, podemos demostrar cada una de las frases anteriores a partir de los axiomas de ZFC (en realidad, técnicamente demostramos sus traducciones al lenguaje de $\{\in\},$ pero espiritualmente no es una distinción tan importante). Así que $\omega$ incluye ciertamente todos los números naturales. Además, podemos demostrar todos los teoremas de distinción que se pueden esperar, como $\emptyset^+ \neq \emptyset^{++}$ .
Así que $\omega$ es ciertamente un conjunto infinito que incorpora todos los números naturales.
Lo que no podemos demostrar utilizando ZFC, o incluso formular en su lenguaje, es lo contrario. Si está interesado en por qué este es el caso, estaré encantado de añadir más información.
Malice Vidrine
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Para añadir a la respuesta de @user18921, podemos demostrar que hay estructuras dentro de, digamos, ZFC que hay estructuras que ZFC ve como modelos de los números naturales que contienen elementos extra (incluso incontables). Hay algunas pruebas claras de la compacidad, si te apetece aprender algo de teoría de modelos rudimentaria. Lo que esto significa es, siempre que hayamos formulado el problema correctamente en ZFC, que hay una serie de propiedades que las teorías de primer orden no pueden distinguir sobre sus modelos. Hay modelos "estándar"/mínimos de $\mathbb{N}$ en relación con ZFC (o cualquier teoría de conjuntos) -modelos que son lo más mínimo que se puede hacer en esa teoría- pero nuestra teoría de conjuntos está sujeta a la misma ambigüedad que nuestros modelos de $\mathbb{N}$ .
Afortunadamente, la solidez de la lógica de primer orden significa que no podemos derivar nada que sea realmente equivocado sobre $\mathbb{N}$ (suponiendo que todo sea coherente) incluso si el conjunto subyacente no es estándar. Del mismo modo, si ZFC nos dice que hay versiones no estándar de $\mathbb{N}$ y hemos capturado adecuadamente la relación entre las teorías y sus modelos en ZFC, entonces podemos tener una confianza razonable en el resultado, incluso si no tenemos una forma clara de saber cuán no estándar se vuelve el universo teórico de conjuntos.
