¿Tiene un espacio métrico un origen? Es decir, ¿tiene $(0,0)$ .
¿Tiene un espacio vectorial un origen?
Parece que todo lo que se puede hacer en un espacio métrico también se puede hacer en un espacio vectorial. ¿Es esto cierto?
No, un espacio métrico no tiene ningún punto distinguido en particular llamado "el origen". Un espacio vectorial sí lo tiene: se define por la propiedad $0 + x = x$ por cada $x$ .
En general, en un espacio métrico no se tienen las operaciones de suma y multiplicación escalar que se tienen en un espacio vectorial. Por otra parte, en general un espacio vectorial no tiene la noción de "distancia".
Los espacios vectoriales tienen necesariamente un vector llamado "vector cero"; en el caso especial del espacio vectorial $k^n$ (donde $k$ es un campo), este vector suele llamarse "el origen", ya que $k^n$ también puede ser visto como un geométrico (el $n$ -espacio afín de dimensiones). Pero los espacios vectoriales no tienen necesariamente algo que llamemos "el origen": la colección de todos los polinomios con coeficientes reales es un espacio vectorial real, pero normalmente no nos referimos al polinomio cero como "el origen", aunque sea el vector cero de este espacio vectorial.
Los espacios métricos son conjuntos con una métrica definida sobre ellos. Por ejemplo, la colección de todos los números complejos con norma compleja $1$ y con la métrica dada por la distancia habitual entre ellos como números complejos, es un espacio métrico. Cualquier subconjunto no vacío de los números reales, con la función de distancia habitual, es un espacio métrico; y cualquier conjunto no vacío $X$ con la distancia definida por $d(x,y) = 0$ si $x=y$ y $d(x,y)=1$ si $x\neq y$ es un espacio métrico. No es necesario que haya algo que podamos llamar razonablemente "el origen".
Un espacio métrico es un conjunto con una distancia. Eso es todo lo que sabes. Eso significa que el conjunto puede no tener una estructura algebraica. por ejemplo, {silla, manzana} es un conjunto. define d(manzana, manzana) = d(silla, silla) = 0 y d(silla, manzana) = d(manzana, silla) = 1. Eso es un espacio métrico, y no se parece en nada a un espacio vectorial.
Creo que el OP está confundiendo un espacio vectorial con un normalizado que, de hecho, comparte muchas propiedades de los espacios métricos generales, y por una razón muy sencilla: Una norma induce una métrica en el conjunto subyacente sobre el que se define el mapa.Esto es bastante sencillo de demostrar a partir de las definiciones y el preguntante debería intentar hacerlo. Un espacio vectorial general NO tiene necesariamente estas propiedades, por supuesto, ni siquiera es necesario que un espacio vectorial general admita cualquier noción de distancia en absoluto.
Todo espacio vectorial (sobre un subcampo de $\mathbb{C}$ ) admite muchas normas diferentes y, por tanto, puede convertirse en un espacio métrico de múltiples maneras.
Estás bromeando, ¿verdad? Sí, hay muchas normas diferentes que se pueden construir en un espacio vectorial, dando lugar a muchas métricas posibles y sus respectivas topologías. ¿Cómo hace eso que lo que acabo de publicar sea incorrecto y merezca un -1? NO se deduce de la definición de un espacio vectorial en sí misma que eso sea cierto. Lo que quiero decir es que la definición de un espacio vectorial en sí misma -sin norma- NO admite ninguna noción natural de distancia y éste era el punto de confusión para el autor de la pregunta.
Un espacio métrico es un conjunto con una noción de distancia definida entre puntos de ese conjunto. Esta noción de distancia es una función conocida como métrica (que debe satisfacer un conjunto de axiomas relativos a la distancia). Esta métrica toma dos puntos cualesquiera y los mapea en un número real que caracteriza la distancia entre esos dos puntos.
Un espacio vectorial es un conjunto que contiene objetos llamados vectores que interactúan de alguna manera predefinida determinada por los axiomas. Los vectores se miden en relación con algún marco de referencia y, por lo tanto, tienen una noción de magnitud y dirección desde algún origen.
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
7 votos
Son conceptos totalmente diferentes. En cuanto al origen, un espacio métrico general no tiene nada que se comporte como el número cero ordinario. Un espacio vectorial sí tiene un único objeto "parecido al cero", es decir, un vector, que solemos llamar $0$ , de tal manera que $0+v=v+0=v$ para cualquier vector $v$ en el espacio. Aunque los conceptos de espacio vectorial y espacio métrico son totalmente diferentes, algunos espacios conocidos, como $\mathbb{R^3}$ son simultáneamente espacios vectoriales y espacios métricos, y existe una interacción entre la estructura vectorial y la estructura métrica.
1 votos
Las respuestas de abajo lo dicen todo, pero me interesa saber qué quieres decir con la penúltima frase de tu pregunta. ¿Qué tipo de cosas has visto hacer en espacios métricos que (aparentemente) también se pueden hacer en espacios vectoriales?