$\mathbb{R}P^n$ es orientable si $n$ es impar, sin homología, sin geometría diferencial

Question

Estoy tratando de demostrar que $\mathbb{R}P^n$ es orientable si $n$ es impar. Una forma de hacerlo es calcular la homología del espacio, y luego utilizar el teorema (¿pesado?) que afirma que un $n$ -dimensioanl colector cerrado conectado $M$ tiene $n$ -th homology

$$\tilde{H}_n(M) = \begin{cases} \mathbb{Z} & \text{M is orientable}\\ 0 & \text{M is not orientable} \end{cases} $$

Ahora bien, no quiero utilizar este teorema, sino demostrarlo directamente (también diría que la forma de calcular el $n$ -grupo de $\mathbb{R}P^n$ depende en realidad de $\mathbb{R}P^n$ es orientable si $n$ es impar). Para ello, he aquí algunas definiciones:

1. La orientación del camino en un punto $p\in M$ se define utilizando grupos de homología es, mostrando que $H_n(M,M\setminus\{p\}) = \mathbb{Z}$ y un generador para este grupo es una imbricación de un $n$ -dimensinal simplex alrededor $p$ (correspondiente a $1\in \mathbb{Z}$ ) o su reflejo (correspondiente a $-1\in \mathbb{Z}$ ) - elegir entre estos dos da una orientación en el punto. Ahora, un bucle en $M$ se dice que preserva la orientación si al recorrerlo una vez, la orientación en el punto base no cambia.
2. El chracter de orientación es el mapa $\pi_1(M) \to \{1,-1\}$ enviando una clase de homotopía de un bucle a $1$ si el bucle conserva la orientación. $M$ es orientable si tiene carácter trivial, y esta afirmación es la que quiero utilizar.

Ahora mi intento:

Sabemos que $S^n$ es una cobertura de orden 2 para $\mathbb{R}P^n$ por lo que su grupo fundamental es $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ (cuando $n\ge 2$ el caso $n=1$ siendo trivial). Un generador explícito para el grupo es el bucle cerrado, procedente de una curva en $S^n$ que conecta dos puntos antípodas.

Ahora sé que el mapa antipodal en $S^n$ induce $(-1)^{n+1} \cdot \operatorname{Id}$ en el grupo de homología (ya que es una composición de $n+1$ reflexión, cada uno da un cambio de signo, como se ha demostrado en la teoría de la homoología utilizando la naturalidad de la secuencia de Mayer-Vietoris).

Usando esto, quiero derivar que este bucle no trivial en $\mathbb{R}P^n$ se mapea por el carácter a $(-1)^{n+1}$ Pero, ¿cómo se puede hacer esto?

Answer 1

He aquí una solución, que en realidad no implica en absoluto a los grupos de homotopía:

En el espacio proyectivo real, queremos seguir la orientación dada en un punto base, pasando por el bucle cerrado no trivial hasta volver al punto base.

Para ello, tomamos el bucle en $S^n$ que es el semicírculo entre dos puntos antípodas; ya que $S^n$ es orientable, lo que queda por comprobar es la consistencia de la orientación en una vecindad de los dos puntos pegados. Esto lo hacemos utilizando el mapa antipodal, que es precisamente la función de pegado. El mapa antipodal es una composición de $n+1$ y, por lo tanto, preservará la orientación en la vecindad del punto pegado si $n$ es impar - esto es cierto ya que cada reflexión tuerce la orientación (como se señaló anteriormente).