¿Son estos juegos abiertos?

Question

Esta es la pregunta:

Cuál de estos conjuntos son abiertos establece en el límite inferior de la topología en $\mathbb{R}$, cuya base son elementos $[a,b),a<b$? $$[4,5)\qquad\left\lbrace3\right\rbrace\qquad [1,2]\qquad(7,8)$$

El primero, evidentemente, es abierto, ya que pertenece a la base. El segundo no se puede ser, como la base de todos los elementos tienen más de un elemento, y así no hay unión de la base de elementos que puede tener un solo elemento. El cuarto puede ser construido por:

$$(7,8)=\bigcup_{7<a<8}[a,8)$$

El tercero, yo no puedo probar que sea (que claramente no está abierto). Estoy tratando de hacer algo como esto:

Si estaba abierta, sería el resultado de la unión de conjuntos como $[1,a)$. Yo no puedo demostrar que a pesar, de que la unión de los conjuntos no puede tener un límite cerrado.

EDIT: no Podía ser de: La unión de los conjuntos se define mediante el establecimiento de un conjunto de valores para $a$. $a\in\mathbb{R}$, así que debe haber un máximo de $a$: $a_{max}$, y así que el resultado final de la unión estarían $[1,a_{max})$. Que funciona si el conjunto de valores de $a$ es finito. Si no lo es, si está delimitada la misma cosa funciona, si su unbounded el conjunto podría ser $[1,\infty)$

Answer 1

Tenga en cuenta que la unión de intervalos de la forma$[a,b)$ nunca es$[x,y]$. Para ver esto, la primera nota que es suficiente para demostrar este hecho para aumentar las uniones de$[a,b_i)$.

Supongamos ahora que$b_i$ es una secuencia estrictamente creciente de números reales, y$a<b_0$, entonces$(a,b_i)$ son conjuntos abiertos en la topología Euclidiana, y así$\bigcup(a,b_i)=(a,\sup b_i)$ y es fácil de mira eso $\bigcup[a,b_i)=\{a\}\cup\bigcup(a,b_i)$.

Similarmente$\{3\}$ tampoco está abierto, porque es el intervalo$[3,3]$.

Answer 2

Si el$[1,2]$ estaba abierto, entonces$2$ tendría una vecindad abierta$[a,b)$ tal que$2\in[a,b)\subset[1,2]$. Ahora tome cualquier elemento$p$ tal que$2<p<b$. Pertenece a$[a,b)$, por lo tanto a$[1,2]$, y es mayor que$2$ ...

Answer 3

Si$[a, b]$ está abierto en la topología del límite inferior, es expresable como una unión de conjuntos de la forma [c, d]. Es evidente que no$[c, d)$ donde$d > b$ puede estar en el sindicato o de lo contrario el sindicato contendría elementos no en [a, b]. Así que los conjuntos deben ser de la forma$[c, d)$ donde$d \leq b$. Pero entonces el sindicato no contendría$b$, y así$[a, b]$ no puede expresarse como una unión de conjuntos abiertos básicos. Por lo tanto,$[a, b]$ no está abierto.

Answer 4

{3} I me gustaría añadir, que esto no está abierto en el límite inferior de la topología en el R. Porque si es abierto, entonces es arbitrarias de la unión de los intervalos de la forma [a,b). Y esto no es posible porque [a,b) o está vacío infinito, żcómo es posible unión de un número finito no vacío. Mismo Argumento muestra ningún conjunto finito(excepto conjunto vacío) es abierto en el límite inferior de la topología de R.

Creo que no es necesario probar todos los bloques abiertos en el límite inferior de la topología puede ser escrito como arbitrarias de la unión de los intervalos de la forma [a,b). (Debido a que estos forman una base para la topología)