Deje $f,g:(0,\infty)\to \mathrm{R}$ ser monótona decreciente de funciones.
Demostrar que si
$m(\{x:f(x)>a\})=m(\{x;g(x)>a\}),\; \forall a\in \mathrm{R}$ donde $m$ denota la medida de Lebesgue,
a continuación,$f=g~~~ a.e.$$(0,\infty)$.
He aquí cómo he tratado de hacer:
Debemos mostrarles a $m(\{x:f(x)\neq g(x)\})=0$.
Desde que las condiciones de $f$ $g$ son simétricas, es suficiente para mostrar $m(\{x:f(x)> g(x)\})=0$.
Para derivar la contradicción, supongamos $m(\{x:f(x)> g(x)\})>0$. Luego hay $x_1, x_2$ $x_1<x_2$ tal que $[x_1,x_2]\subset \{x:f(x)> g(x)\} $.
Por supuesto, tenemos $f(x_1)\geq f(x)\geq f(x_2)$, $g(x_1)\geq g(x)\geq g(x_2)~~ {\rm and}~~ f(x)>g(x) ~~\forall x\in (x_1,x_2)$.
Si $f$ $g$ eran continuas y estrictamente decreciente, puedo tomar un pequeño barrio de fijo $x^\star$, y sostienen que en ese nighborhood, que es un intervalo abierto, $f(x)>f(x^\star)$ pero $g(x)\leq f(x^\star)$, una contradicción.
No puedo pensar en cómo probar sin estos supuestos.
Cualquier comentario o consejo es muy apreciada.
Gracias por la lectura.
