Deje $K\subset \mathbb{R}^1$ se compone de $0$ y el número $1/n,$$n\in \mathbb{N}$. Demostrar que $K$ es compacto directamente de la definición (sin usar el Heine-Borel teorema)
Prueba: Supongamos $K$ no es compacto. Entonces existe abra la cubierta $\{G_{\alpha}\}$ $K$ de manera tal que no contiene finito subcover. A continuación, $K_1=K\backslash\{1\}$ no puede ser cubierto por cualquier finito subcollectio de $G_{\alpha}$. A continuación, $K_2=K\backslash \cup_{i=1}^{2}\{\frac{1}{i}\}$ también. Y podemos continuar este proceso. Está claro que $\cap_{i=1}^{\infty}K_i=\{0\}$. Está claro que $0\in G_{\alpha}$ algunos $\alpha$. Pero $G_{\alpha}$ está abierto, a continuación,$\exists r>0:$ $|y|<r$ implica que $y\in G_{\alpha}$. Tomaremos $n$ tan grande tal que $1/(n+1)<r$. A continuación,$K_n\subset G_{\alpha}$. Si $z\in K_n=K\backslash \cup_{i=1}^{n}\{\frac{1}{i}\}$$|z|<\frac{1}{n+1}<r$$z\in G_{\alpha}$. Llegamos a contradicción, porque $K_n$ no puede ser cubierta por cualquier finito subcolección de $G_{\alpha}$
Es mi prueba de la verdad?
