Deje $R_i$ ser una dummy que es igual a uno para los encuestados y cero para los no encuestados, $Y_i$ el resultado y $D_i$ la variable tratamiento de su experimento aleatorio. Usted no puede observar el contrafactual cantidades que se desea comparar, es decir,$E[Y_{i1}|R_i = 0|D_i = 1]$$E[Y_{i0}|R_i = 0, D_i = 0]$, debido a la no respuesta, pero usted sabe que su probabilidad de pesos a partir de los datos y se puede utilizar el hecho de que $Y_i$ $R_i$ están acotados entre cero y uno.
Suponiendo el peor de los casos en que $E[Y_{i1}|R_i = 0|D_i = 1] = 0$$E[Y_{i0}|R_i = 0, D_i = 0] = 1$, la más baja Manski obligado está dada por:
$$
\begin{align}
B^{L} &= P(R_i = 1|D_i = 1)E(Y_i|D_i = 1, R_i = 1) \newline
&- [P(R_i = 1|D_i = 0)E(Y_i|D_i = 0, R_i = 1) + P(R_i = 0|D_i = 0)]
\end{align}
$$
cual es la diferencia entre el resultado de los tratados, dado que ellos respondieron, menos el resultado de los no tratados, dado que ellos respondieron más la probabilidad de que no tratadas de los individuos no responden.
En el mismo espíritu, suponiendo el mejor de los casos en que $E[Y_{i1}|R_i = 0|D_i = 1] = 1$$E[Y_{i0}|R_i = 0, D_i = 0] = 0$, la parte superior de Manski obligado está dada por:
$$
\begin{align}
B^{U} &= P(R_i = 1|D_i = 1)E(Y_i|D_i = 1, R_i = 1) + P(R_i = 0 | D_i = 1) \newline
&- P(R_i = 1|D_i = 0)E(Y_i|D_i = 0, R_i = 1)
\end{align}
$$
Naturalmente, el efecto medio del tratamiento se encuentran en entre los casos extremos. El ancho de la Manski límites es simplemente la diferencia entre la parte superior y límite inferior:
$$\text{width} = P(R_i = 0|D_i = 1) + P(R_i = 0|D_i = 0)$$
Este ancho está determinado por las probabilidades de selección en el tratamiento que se da la respuesta de comportamiento, es decir, más de la falta de respuesta aumenta la anchura. Los límites fueron de carácter informativo si tanto en la parte superior y límite inferior podría conjuntamente mentira a ambos lados de cero. Resulta que nunca puede, por lo tanto no puede firmar su efecto de tratamiento.
En el mejor de los que usted puede obtener una idea sobre el alcance de su efecto, pero en general Manski límites son poco informativas. Usted no puede hacer que estos límites de cualquier menor, sin imponer supuestos adicionales.
Lee (2009) límites en el otro lado son más estrechos pero sólo vinculado a un tratamiento específico efecto. No estoy derivando el ancho de los límites de nuevo ahora, ya que se obtienen de la misma forma que para el Manski límites. Cuando resta el límite inferior a partir del límite superior que se obtiene:
$$\text{width} = \frac{P(R_i = 1|D_i = 1) - P(R_i = 1|D_i = 0)}{P(R_i = 1|D_i = 0)}$$
Si la diferencia en las tasas de respuesta a través de tratados y no tratados, de los individuos es pequeño, los límites serán de carácter informativo.
El crucial suposición es que esta diferencia en las tasas de respuesta no es debido a una diferencia entre estos dos grupos, pero debido a que el tratamiento tiene un efecto en la respuesta. En su caso particular, esta suposición no parece contener porque tal y como yo lo veo perdido un lote de respuestas o administrativos problema retenido. Un ejemplo para cuando esta suposición tiene es que si la gente se enoja si no consiguen el tratamiento y por lo tanto no responden, o las personas que recibieron el tratamiento, no importa responder porque han conseguido lo que querían.
Incluso si usted creíble de hacer esta suposición, Lee límites no puede distinguir entre la gente que siempre responden y los que responden porque han recibido el tratamiento. Lee llama a los de siempre los encuestados y la respuesta compliers. Así que lo que están delimitador con este es el efecto medio del tratamiento de estas dos subpoblaciones. Si esto es lo que quieres realmente depende de su aplicación.
