Ejemplos de Cálculos usando Convergencia Dominada por Lebesgue

Question

Me encontré con el siguiente problema en mi auto-estudio, y quería saber cómo utilizar Lebesgue Convergencia Dominada para calcular cualquiera de los siguientes límites:

(un) $\lim\limits_{n \rightarrow \infty}$ $\int_0^\infty$ $(1+(x/n))^{-n} \sin (x/n)dx$

(b) $\lim\limits_{n \rightarrow \infty}$ $\int_0^1$ $(1+nx^{2})(1+x^2)^{-n}dx$

(c) $\lim\limits_{n \rightarrow \infty}$ $\int_0^\infty$ $n \sin (x/n) [x(1+x^2)]^{-1}dx$

Cualquier ayuda es muy apreciada.

Actualización: creo que he trabajado exitosamente argumentos para cada uno de (a) y (b), por lo que estoy menos preocupado acerca de las respuestas y estrategias para las partes. Sin embargo, (c) parece más complicado que el de los demás, así que si alguien visita hoy ve cómo manejar (c) (en particular, un buen suficiente dominando la función!), déjame saber como sería muy apreciado.

Answer 1

Sugerencia para (c):

• ¿Qué podemos decir sobre la función$$g(t)=\frac{\sin t}{t}\qquad\text{?}$ $

• ¿Qué podemos decir sobre la función$$h(x)=\frac{1}{1+x^2}\qquad\text{?}$ $

Editar: Añadir una pista adicional ...$$n\sin(x/n)[x(1+x^2)]^{-1}=g(x/n)h(x).$ $

Answer 2

Supongo que estás usando Folland en tu estudio.

(A) Deje$f_n(x)= (1+(x/n))^{-n}\sin(x/n)$ y$g_n(x)= (1+(x/n))^{-n}$. Observe que$\lim_{n\to\infty}(1+(x/n))^{-n}=e^{-x}$ y$\lim_{n\to\infty} f_n(x)=0$. Dado que$|f_n(x)|\leq g_n(x)$ y es fácil ver que$\int g_n\to 1$, entonces por LDCT (la versión del ejercicio 21 capítulo 2) se sigue que$\int f_n\to 0$.

Answer 3

Para la parte (c), puede usar la siguiente desigualdad (que no es difícil verificar) $$ | \ sin (x) | \ Leq x \ quad \ forall x \ en [0, \ infty) $$ Entonces, podemos obtener una función dominante de la siguiente manera: $ \ left | \ frac {n \ sin (x / n)} {x (1 X ^ 2)} \ right | {X (1 x ^ 2)} = \ frac {1} {1 x ^ 2} $$