Una función no integrable de Riemann$f\colon [0, 1]^2 \to \mathbb{R}$ tal que$f(\cdot, y), f(x, \cdot)$ son Riemann integrable.

Question

Necesito encontrar un$f\colon [0, 1]^2 \to \mathbb{R}$ limitado que no sea integrable de Riemann, pero tal que$f(\cdot, y), f(x,\cdot)$ son Riemman integrable como funciones de$[0, 1]$ a$\mathbb{R}$ .

He intentado varios trucos que no funcionó. Empecé a sospechar que no hay tal ejemplo, pero tampoco podía probarlo.

¿Algunas ideas?

Answer 1

Permítanme ampliar mi comentario en una respuesta.

Como user71352 comentarios de arriba, usted puede usar la función característica de un conjunto $A\subset [0,1]^2$ que es denso, pero cada una de las líneas horizontales y verticales, contiene más de un punto de $A$. Usted indicó en un comentario que usted sabe cómo construir un set, así que no voy a ir allí.

El conjunto $A$ no es medible Jordan, por lo que su función característica no es Riemann integrable. Esto es muy similar a probar que la función característica de los números racionales en $[0,1]$ no es Riemann integrable. Para este argumento es suficiente para saber que tanto $A$ y su complemento son densos en $[0,1]^2$ — esto es suficiente pero no necesaria para la función característica $\chi_A$ no integrable.

Por otro lado, la función característica de un singleton o un conjunto vacío en $[0,1]$ es claramente Riemann integrable y la integral es cero. Por lo tanto, $\chi_A$ es una función adecuada.

Si desea utilizar una función característica como un ejemplo (que a menudo es una buena idea a tener en cuenta), es crucial que el conjunto no es medible Jordan. De lo contrario, la integral sobre la $[0,1]^2$ existiría. Si usted toma esta ruta, usted necesita un no-medibles conjunto cuyo horizontal y vertical de las rebanadas son mensurables todos. Esto es sólo para argumentar que la línea de razonamiento que aquí se presenta es muy natural.