¿Hay un functor sin adjunto?

Question

Así que yo estoy haciendo algo de investigación en la categoría de teoría, y no sé si esto es una pregunta trivial o no, así que voy a preguntar de todos modos. Que functors no han dejado adjoints?

Sé que debe haber alguna, de lo contrario no tendría ningún sentido para el functor adjunto teorema o de saber que el derecho adjoints preservar los límites de etc. Pero simplemente no puedo pensar en ninguna. Un par de ejemplos sería genial, y aún mejor si usted podría explicar cómo desafían el functor adjunto teorema, pero sólo para conocer a algunos a buscar en que sería realmente útil. Muchas gracias.

Answer 1

Especial Adjunto Functor Teorema (SAFT) establece que un functor $T\colon\mathcal{A}\to\mathcal{B}$ a partir de una buena categoría $\mathcal{A}$ (categoría que a nivel local es pequeño, completo, bien alimentado, tiene un pequeño cogenerating de la familia) a un local pequeño de la categoría $\mathcal{B}$ tiene un adjunto a la izquierda si y sólo si es continua en (conserva los límites de los pequeños). Hay muchas otras formulaciones, ver nlab artículo.

Por ejemplo, tome $\mathbf{Set}$. Satisface SAFT, de ahí el functor $T\colon\mathbf{Set}\to\mathcal{B}$ ha dejado adjunto iff preserva límites. Tomar un conjunto no vacío $X$, entonces el functor $$(-\times X)\colon\mathbf{Set}\to\mathbf{Set}$$ no se una a la izquierda adjoint (porque no te preservar los productos), pero en realidad tiene un derecho adjuntos.

Además de SAFT, hay un montón de casos en los que un functor no tiene a la izquierda adjoints. Por ejemplo, tomar un functor $\mathbf{0}\to\mathcal{A}$ a partir de la categoría vacía a un no-categoría vacía. Luego, por supuesto, no tiene a la izquierda (o derecha) adjoints por el motivo trivial.

Tenga en cuenta que si usted encuentra un functor sin derecho medico adjunto, a continuación, obtendrá automáticamente un functor sin una izquierda adjoint (puede simplemente tomar su doble). Por ejemplo, el functor $$\text{Mor}\colon\mathbf{Cat}\to\mathbf{Set},$$ que asigna una categoría de pequeña a su conjunto de morfismos, no tiene derecho adjoints (porque no conservar coequalizers). Por lo tanto, la doble functor $\text{Mor}^{\text{op}}$ no tiene a la izquierda adjoints.