Probabilidades de registro como prioridad

Question

Tengo este problema: En las situaciones de apuestas uno suele estar interesado en las probabilidades, refiriéndose al lanzamiento de chinches $\theta / (1 - \theta)$ . Como alternativa, se puede considerar el logaritmo de las probabilidades:

$\lambda=log(\theta/(1-\theta))$

Demuestre que una distribución uniforme para $\lambda$ implica la siguiente distribución para $\theta$ :

$p(\theta)=\theta^{-1}(1-\theta)^{-1}$

¿Qué problemas se asocian a esta distribución si se utiliza como prior en el problema de lanzamiento de chinchetas?

Ahora tengo la chincheta, sé que pasará si usamos esa p como previa, pero el uniforme para $\lambda$ implica la p( $\theta$ ) No lo entiendo, he intentado llegar a la p( $\theta$ ) de ambos lados, pero siempre llego a $log(\theta)-log(1-\theta)$ y no puedo salir, ¿alguna ayuda?

Answer 1

$$\frac{d\lambda}{d\theta}=\frac{1}{\theta} + \frac{1}{1-\theta} = \frac{1}{\theta(1-\theta)}$$ $$f(\lambda)\,d\lambda\propto d\lambda \quad \text{(improper uniform; aka Lebesgue measure)}$$ $$g(\theta)\,d\theta =f(\lambda)\,d\lambda=f(\lambda(\theta))\frac{d\lambda}{d\theta}\,d\theta\propto \frac{1}{\theta(1-\theta)}d\theta$$ $$g(\theta)\propto\frac{1}{\theta(1-\theta)} \quad \text{(improper Haldane's prior; see also Jaynes)}$$