Espacio orbital de $S^n \times S^n$ bajo la acción antipodal

Question

Escriba $S^n$ para el $n$ -Esfera de dimensiones, el espacio de los vectores de longitud $1$ en $(n+1)$ -espacio euclidiano. Consideremos la acción antipodal sobre $S^n$ es decir, la acción de $\mathbb{Z}_2$ dado por $x \mapsto -x$ para cualquier $x \in \mathbb{S}^n$ . Entonces el espacio orbital $S^n/\mathbb{Z}_2$ es el $n$ -espacio proyectivo de dimensiones $\mathbb{R}P^n$ .

¿Cuál es el espacio orbital de la acción sobre $S^n \times S^n$ dado por $(x,y) \mapsto (-x, -y)$ ? Una conjetura sin fundamento sería $\mathbb{R}P^n \times \mathbb{R}P^n$ Pero es evidente que esto no es cierto, porque los grupos fundamentales no están de acuerdo. Tal vez la respuesta sea $S^n \times \mathbb{R}P^n$ ? Pero realmente no veo por qué sería el caso.

Answer 1

Este cociente es un haz de esferas sobre $RP^n$ : Se puede pensar en esta construcción como un caso especial de un haz de fibras asociado, asociado a la representación $$\pi_1(RP^n)\to O(n+1)=Isom(S^n)$$ enviando el generador a la matriz $-I$ . Este haz es no orientable si $n$ es par, por lo tanto, el haz es no trivial para los pares $n$ . El haz es orientable para $n$ impar y tengo que pensar si es trivial o no. Mi opinión es que es trivial.