Cuando se resuelve un PDE numéricamente, ¿cuál es un nivel aceptable de error?

Question

Supongamos que resolver algo como $\vec{\nabla} \cdot \vec{j} = 0$ donde $\vec{j}$ es una función de varios conocidos y una incógnita $\Phi$, en una malla regular el uso de un determinado esquema de diferencias finitas a la aproximación de derivados y una matriz dada-solver para encontrar la solución. Supongamos, además, que el problema está bien planteado y que la matriz es de rango completo, de tal manera que una solución única para $\Phi$ existe.

Después de que uno resuelve por $\Phi$ en todos los puntos de la malla, los datos pueden ser utilizados para construir $\vec{j}$, permitiendo $\vec{\nabla} \cdot \vec{j}$ será calculado.

A la hora de resolver este numéricamente, varias fuentes de error causa solución inexacta: $\vec{\nabla} \cdot \vec{j} \ne 0$ en todos los puntos del dominio. En su lugar, hay un poco de (generalmente de bajo nivel de ruido.

Mi Pregunta:

¿Cómo se puede estimar cuál es el nivel de ruido es aceptable para un determinado problema?

Answer 1

Esta es una opinión basada en cuestión, por lo que ofrecen una opinión como respuesta: Nunca resolver un PDE con más precisión que el error de modelar el fenómeno por el PDE.

Cuando se resuelve un PDE, existe una forma más complicada de la PDE que los modelos mejor el fenómeno, y a menudo puede barata de obtener una estimación de la diferencia entre los dos. Por ejemplo, la ecuación de Schrödinger no se puede describir acoplamiento spin-órbita, pero la ecuación de Dirac puede. Sin embargo, se puede estimar la magnitud del acoplamiento spin-órbita por una integración numérica. Así que a la hora de resolver la ecuación de Schrödinger, para obtener una estimación de la solución, entonces se utilizará para calcular el acoplamiento spin-órbita. Ahora sabes la solución nunca puede ser más exacto que el de este, así que no trates de más.

Answer 2

Bueno, no es exactamente una pregunta de matemáticas como de física / ciencias experimentales pregunta. No hay ningún número de oro para tales preguntas en general.

Digamos que han hecho las mediciones y se encontró alguna característica que usted cree (a través de los medios de cálculos) a $99.9\%$ real. Por ejemplo, usted puede haber descubierto una nueva partícula en un experimento del CERN. Está usted satisfecho con los resultados anteriores? Es una prueba médica que tiene un $1\%$ de probabilidad de falsos positivos y $98\%$ de detección a la satisfacción de la prueba o no?

Todos estos tipos de preguntas sólo pueden ser respondidas por las preferencias de la toma de decisiones de los seres humanos involucrados. Usted tiene un sinfín de pruebas estadísticas que pueden poner sus datos a través de, pero al final no es sólo inherente a un "salto de fe" que debe hacer, y es sólo una cuestión de cómo el buen hacer de los resultados de la prueba de necesidad para satisfacer sus necesidades.

En la física, y en particular de la física experimental, se suele permitir que los errores de una orden lo suficientemente pequeño como para "combinar" en el ruido de fondo, es decir, a ser indistinguible de la del resto del error y/o la sensibilidad de los dispositivos (detectores, etc.), aunque a veces usted sólo tenga que ver con lo que ha...

Como se puede ver, la matemática tiene poco que hacer aquí, así que si usted desea pedir lo que hace que los físicos satisfecho con los resultados experimentales, usted debe preguntar en la Física SE. En términos de matemáticas, la pregunta más pertinente sería lo que se dispone de técnicas para la estimación de los errores de sus resultados. Pero no creo que esto es lo que estábamos pidiendo, ya que parece que han tomado algún curso en la física computacional. Si no, por favor me corrigen, y voy a intentar adaptar mi respuesta a sus necesidades.