Mostrar que cada grupo $G$ del orden 175 es abeliana y enumera todos los tipos de isomorfismo de estos grupos. Mira a Sylow $p$ -subgrupos y utilizar el hecho de que cada grupo de orden $p^2$ para un número primo $p$ es abeliana.]
Lo que hice fue esto. $|G| = 175$ . La división 175 nos da $175 = 25 \cdot 7$ . Ahora queremos calcular el Sylow $p$ -grupos, es decir, queremos
$$P= n_7: n_7 \equiv 1 mod 7 \hspace {1.5cm} n_7|25$$ $$Q= n_{25}: n_{25} \equiv 1 mod 25 \hspace {1.5cm} n_{25} | 7$$
Después de enumerar todos los elementos que son $ \equiv 1 mod 7$ y $1 mod 25$ ves que los únicos (disponibles) son $n_7 = n_{25} = 1$ . Esto nos dice que ambos grupos $P,Q$ son subgrupos normales de $G$ . Creo que, por definición de un subgrupo normal, son abelianos y esto nos dice que $G$ es abeliana. Para enumerar todos los tipos de isomorfismo, queremos el producto semidirecto (SDP) de tal manera que
$$P \rightarrow Aut(Q) = C_7 \rightarrow C_{20}$$
Como no hay elementos de orden 7 en $C_{20}$ el único SDP que tenemos es el SDP trivial, es decir, el producto directo
$$C_7 \times C_{25} \cong C_{175}$$
Sabemos que $175 = 5^2 \cdot 7$ y así multiplicando los poderes nos muestra que hay 2 grupos no isomórficos:
$$C_{25} \times C_7$$ $$C_5 \times C_5 \times C_7$$
Mi pregunta para esto es si mi razonamiento también es correcto para cosas como mostrar los grupos abelianos? Vi algo que decía algo sobre $P \cap Q = I_G$ y usaron esto pero no entiendo qué era.
La siguiente pregunta, asumiendo que tenía que tener posibilidades para mi $p$ subgrupo, es decir $n_p = 1 or x$ ¿cómo respondería a esta pregunta? (Estoy haciendo una pregunta como esta ahora y estoy atascado ya que tengo dos Sylow $p$ -subgrupos).
