campo generado por un conjunto

Question

Sea $S$ el conjunto de los números reales que puede escribirse en la forma $ \sum_{n\geq0}{ \frac{\epsilon_{n}}{n!}}$, donde ${\epsilon_n}^2=\epsilon_n$% y dejó $K$ser el campo generado por $S$, que me ayude a probar o refutar que $K=\mathbb{R}$ $\mathbb{R}$ Dónde está el conjunto de los números reales. Gracias

Answer 1

El conjunto $S$ es un conjunto compacto de Hausdorff de dimensión cero. Más aún, todas Cartesiano potencias $S^n$ $S$ han Hausdorff dimensión cero. El campo $K$ genera todavía tiene la dimensión de Hausdorff de cero, por lo que no es $\mathbb R$. La idea básica: $K$ es una contables de la unión de los conjuntos de $f(E)$ donde $E \subseteq S^n$ para algunos $n$, $f$ es una función racional en $n$ variables, y el gradiente de $f$ está delimitada en $E$. Desde $f$ satisface una condición de Lipschitz en $E$, la dimensión de la $f(E)$ todavía es cero.

(Una versión más sofisticada de este argumento es de: Edgar & Miller, Análisis Real de Intercambio de 27 (2001) 335--339, Lema 3.)

Answer 2

Mi prueba es errónea. Voy a actualizar si me parece correcta.

$S$ , de hecho, genera $\mathbb{R}$.

Primero debemos establecer, con relativa facilidad, lo que $\epsilon^2=\epsilon \implies\epsilon=0$ o $1$. Claramente, como $1 \in S$, se genera de forma aditiva $\mathbb{Z}$ y antes de que usted lo sepa, $\mathbb{Q} \in S$, ya que es el más pequeño campo que contiene $\mathbb{Z}$.

Considerar, a continuación,$a= \displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n!}.$, $a\in S$. Vamos a demostrar que cualquier número real en $(1,a)$$S$.

Pick $r \in (1,a)$. Ahora, Vamos A $\epsilon_1=1$. Ahora inductivamente definir $\epsilon_k$ como sigue

Si $\displaystyle \sum_{n=1}^k\frac{1}{n!}>a$, vamos a $\epsilon_k=0$.

Si no, vamos a $\epsilon_k=1$. Si $a=\displaystyle \sum_{n=1}^k\frac{1}{n!}$, hemos terminado, vamos a todos los demás $\epsilon_n=0$, e $a \in S$ como se desee.

Hemos construido la $\epsilon_n$ secuencia para asegurarse de que $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty\frac{\epsilon_n}{n!}=r$. Por eso,$r \in S$. (Esto es cuando el error es: sólo sé que la suma de nuestras subserie es menos de $r$, como Jason muestra en el comentario.)

Entonces, ya tenemos un intervalo de, por convenientemente reescalado y traducirlo utilizando los números racionales ya en el conjunto, se sigue que $\mathbb{R} \subset S$.

Agradecimientos: Mi más sincero agradecimiento a Brian.M.Scott, quien me mostró este enfoque cuando estábamos discutiendo el otro problema.