Mostrar que $C^1([0,1])$ no es reflexiva

Question

Objetivo de este ejercicio es demostrar que $(C^1([0,1]),\|\cdot\|_{C^1})$ no es reflexiva.

Sabemos que, si $(f_h)_h\subset C^1([0,1])$ es una secuencia que débilmente converge a $f\in C^1([0,1])$ (que es$f_h \rightharpoonup f$), $(f_h)_h$ $(f'_h)_h$ pointwise convergen, respectivamente, $f$ y $f'$ $(*)$.

Ahora, vamos a $f_h(x)=\frac{x^h}{h}$$x\in[0,1]$. De $(*)$ se sigue que $f_h(x)$ no converge débilmente en $C^1([0,1])$, debido a $f'_h=x^{h-1}$ pointwise converge a una función discontinua.

De esto queremos a la conclusión de que la $(C^1([0,1]),\|\cdot\|_{C^1})$ no es reflexiva argumentando por contraposición. Así, supongamos que el $(C^1([0,1]),\|\cdot\|_{C^1})$ es reflexiva. A continuación, la unidad cerrada balón $B$ secuencialmente es débilmente compacto. Ahora, para llegar a lo absurdo, supongo que tengo que utilizar la secuencia de $(f_h)$ donde $f_h=\frac{x^h}{h}$, pero $\|f_h\|_{C^1}=1/h+1>1$. Así que, ¿qué tengo que hacer?

Answer 1

Observe que $\lVert f_h\rVert_{C^1}\leqslant 2$ si tenemos en cuenta $h\geqslant 1$, por lo tanto la secuencia de $(f_h/2)_{h\geqslant 1}$ tiene todos sus términos en la bola unidad cerrada de $C^1([0,1])$.